三角形ABCにおいて、ADは∠CABの二等分線、BEは∠ABCの二等分線である。$AB=4$, $AE=5$, $BC=6$とする。$CD = x$, $BD=y$としたとき、$x$と$y$の値を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、ADは∠CABの二等分線、BEは∠ABCの二等分線である。$AB=4$, $AE=5$, $BC=6$とする。$CD = x$, $BD=y$としたとき、$x$と$y$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず角の二等分線の性質を利用します。

$\triangle ABC$において、ADは∠CABの二等分線なので、$BD:DC=AB:AC$が成り立ちます。

$BD = y$, $DC = x$, $AB = 4$, $AC = AE + EC = 5 + x$なので、

$y:x = 4:(5+x)$となります。

次に、$\triangle ABC$において、BEは∠ABCの二等分線なので、$AE:EC = BA:BC$が成り立ちます。

$AE = 5$, $EC = x$, $BA = 4$, $BC = 6$なので、

$5:x = 4:6$となります。

この式から$x$の値を求めます。

$4x = 5 \times 6$

$4x = 30$

$x = \frac{30}{4} = \frac{15}{2} = 7.5$

$y:x = 4:(5+x)$に$x = \frac{15}{2}$を代入します。

$y: \frac{15}{2} = 4:(5 + \frac{15}{2}) = 4:(\frac{10}{2} + \frac{15}{2}) = 4:\frac{25}{2}$

$y: \frac{15}{2} = 4:\frac{25}{2}$

$y = \frac{15}{2} \times \frac{4}{\frac{25}{2}} = \frac{15}{2} \times \frac{4 \times 2}{25} = \frac{15 \times 4}{25} = \frac{60}{25} = \frac{12}{5} = 2.4$

3. 最終的な答え

$x = \frac{15}{2}$

$y = \frac{12}{5}$