点Oは$\triangle ABC$の外心である。$\angle x$の大きさを求めなさい。$\angle BAC = 40^{\circ}$、$\angle ABO = 18^{\circ}$である。

1. 問題の内容

点Oは$\triangle ABC$の外心である。$\angle x$の大きさを求めなさい。$\angle BAC = 40^{\circ}$、$\angle ABO = 18^{\circ}$である。

2. 解き方の手順

外心の性質より、$OA = OB = OC$である。

したがって、$\triangle OAB$と$\triangle OAC$は二等辺三角形である。

$\triangle OAB$において、$OA = OB$より、$\angle OAB = \angle ABO = 18^{\circ}$である。

$\angle OAC = \angle BAC - \angle OAB = 40^{\circ} - 18^{\circ} = 22^{\circ}$である。

$\triangle OAC$において、$OA = OC$より、$\angle OCA = \angle OAC = 22^{\circ}$である。

$\angle x = \angle OCB = \angle ACB - \angle OCA$

$\angle ABC = \angle ABO + \angle OBC$であり、$\triangle OAB$と$\triangle OBC$は二等辺三角形であるので、$\angle ABO = \angle BAO$、$\angle OBC = \angle OCB$

$\angle ACB = 180^{\circ} - \angle BAC - \angle ABC$より

$\angle ACB = 180^{\circ} - 40^{\circ} - (\angle ABO + \angle OCB)$

$\angle ACB = 180^{\circ} - 40^{\circ} - (18^{\circ} + \angle OCB)$

$\angle ACB = 122^{\circ} - \angle OCB$

$\angle OCB = \angle ACB - 22^{\circ} = 122^{\circ} - \angle OCB - 22^{\circ}$

$2\angle OCB = 100^{\circ}$

$\angle OCB = 50^{\circ}$

よって、$\angle x = 50^{\circ}$

$\triangle OBC$において、$OB = OC$より、$\angle OBC = \angle OCB = x$である。

$\angle BOC = 2 \angle BAC = 2 \times 40^{\circ} = 80^{\circ}$である。

$\triangle OBC$の内角の和は$180^{\circ}$なので、

$x + x + 80^{\circ} = 180^{\circ}$

$2x = 100^{\circ}$

$x = 50^{\circ}$

3. 最終的な答え

50°