2直線 $3x+4y=7$ と $12x-5y=7$ が作る鋭角の二等分線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

2直線 $3x+4y=7$ と $12x-5y=7$ が作る鋭角の二等分線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

2直線のなす角の二等分線上の点は、2直線からの距離が等しいという性質を利用します。

まず、2直線の方程式を一般形 $ax+by+c=0$ の形にします。

$3x + 4y - 7 = 0$

$12x - 5y - 7 = 0$

次に、点 $(x, y)$ から直線 $ax+by+c=0$ までの距離 $d$ は、以下の式で表されます。

$d = \frac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

二等分線上の点 $(x, y)$ から2直線までの距離が等しいので、

$\frac{|3x+4y-7|}{\sqrt{3^2+4^2}} = \frac{|12x-5y-7|}{\sqrt{12^2+(-5)^2}}$

$\frac{|3x+4y-7|}{\sqrt{9+16}} = \frac{|12x-5y-7|}{\sqrt{144+25}}$

$\frac{|3x+4y-7|}{\sqrt{25}} = \frac{|12x-5y-7|}{\sqrt{169}}$

$\frac{|3x+4y-7|}{5} = \frac{|12x-5y-7|}{13}$

$13|3x+4y-7| = 5|12x-5y-7|$

絶対値を外すと、次の2つの式が得られます。

$13(3x+4y-7) = 5(12x-5y-7)$ または $13(3x+4y-7) = -5(12x-5y-7)$

それぞれ計算します。

場合1: $13(3x+4y-7) = 5(12x-5y-7)$

$39x + 52y - 91 = 60x - 25y - 35$

$0 = 21x - 77y + 56$

$21x - 77y + 56 = 0$

$3x - 11y + 8 = 0$

場合2: $13(3x+4y-7) = -5(12x-5y-7)$

$39x + 52y - 91 = -60x + 25y + 35$

$99x + 27y - 126 = 0$

$11x + 3y - 14 = 0$

ここで、どちらが鋭角の二等分線であるかを判断します。

2直線の傾きを求めます。

$3x + 4y = 7 \implies y = -\frac{3}{4}x + \frac{7}{4}$

$12x - 5y = 7 \implies y = \frac{12}{5}x - \frac{7}{5}$

傾きが負の直線と正の直線が交わっているので、鋭角の二等分線は傾きが正の方です。

$3x-11y+8=0 \implies y=\frac{3}{11}x + \frac{8}{11}$

$11x+3y-14=0 \implies y=-\frac{11}{3}x + \frac{14}{3}$

したがって$3x-11y+8=0$が鋭角の二等分線です。

3. 最終的な答え

$3x - 11y + 8 = 0$