$R^3$空間において、以下の平面の方程式を $x, y, z$ の1次式の形で求める。 (1) 3点 $A(1,4,2), B(3,-2,0), C(2,1,3)$ を通る平面 (2) 3点 $O(0,0,0), A(1,2,3), B(-2,1,-1)$ を通る平面 (3) 直線 $\frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{3} = 2-z$ に垂直で点 $(5,-3,1)$ を通る平面

1. 問題の内容

$R^3$空間において、以下の平面の方程式を $x, y, z$ の1次式の形で求める。

(1) 3点 $A(1,4,2), B(3,-2,0), C(2,1,3)$ を通る平面

(2) 3点 $O(0,0,0), A(1,2,3), B(-2,1,-1)$ を通る平面

(3) 直線 $\frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{3} = 2-z$ に垂直で点 $(5,-3,1)$ を通る平面

2. 解き方の手順

(1) 平面の方程式を $ax + by + cz = d$ とおく。

点A, B, Cを通るので、それぞれ代入して

$a + 4b + 2c = d$

$3a - 2b = d$

$2a + b + 3c = d$

これらの式から $a, b, c, d$ の関係を求める。第1式と第2式から、$a+4b+2c = 3a-2b$ つまり、$2a-6b-2c=0$、よって、$a-3b-c=0$。

第1式と第3式から、$a+4b+2c = 2a+b+3c$ つまり、$a-3b+c=0$。

よって、$2c = 0$ つまり $c = 0$。

したがって、$a - 3b = 0$ より、$a = 3b$。

$d = 3a - 2b = 9b - 2b = 7b$。

$a=3b, c=0, d=7b$ を $ax+by+cz = d$ に代入して、$3bx + by = 7b$。

$b$ で割って、$3x + y = 7$。

(2) 平面の方程式を $ax + by + cz = 0$ とおく（原点を通るので）。

点A, Bを通るので、それぞれ代入して

$a + 2b + 3c = 0$

$-2a + b - c = 0$

これを解く。第1式を2倍して第2式と足すと、$5b + 5c = 0$ つまり、$b = -c$。

これを第1式に代入すると、$a - 2c + 3c = 0$ つまり、$a + c = 0$。よって、$a = -c$。

$a=-c, b=-c$ を $ax+by+cz=0$ に代入して、$(-c)x + (-c)y + cz = 0$。

$-cx - cy + cz = 0$。

$c$ で割って、$-x - y + z = 0$。

よって、$x + y - z = 0$。

(3) 直線の方向ベクトルは $(2, 3, -1)$。

求める平面の方程式を $2x + 3y - z = d$ とおく。

点 $(5, -3, 1)$ を通るので、$2(5) + 3(-3) - 1 = d$。

$10 - 9 - 1 = d$ より $d = 0$。

よって、$2x + 3y - z = 0$。

3. 最終的な答え

(1) $3x + y = 7$

(2) $x + y - z = 0$

(3) $2x + 3y - z = 0$