一辺の長さが $a$ の正四面体 OABC において、辺 BC の中点を M とし、$\angle OMA = \theta$ とする。また、頂点 O から平面 ABC に下ろした垂線の足を H とする。以下の値を求めよ。 (1) $\cos \theta$ (2) OH の長さ (3) $\triangle ABC$ の面積 S (4) 正四面体の体積 V (5) 正四面体の内接球の半径 r (6) 正四面体の外接球の半径 R

1. 問題の内容

一辺の長さが $a$ の正四面体 OABC において、辺 BC の中点を M とし、$\angle OMA = \theta$ とする。また、頂点 O から平面 ABC に下ろした垂線の足を H とする。以下の値を求めよ。

(1) $\cos \theta$

(2) OH の長さ

(3) $\triangle ABC$ の面積 S

(4) 正四面体の体積 V

(5) 正四面体の内接球の半径 r

(6) 正四面体の外接球の半径 R

2. 解き方の手順

(1) $\cos \theta$ について

$\triangle OMA$ を考える。$OM = AM = \frac{\sqrt{3}}{2} a$ である。また、$OA = a$ である。余弦定理より、

$OA^2 = OM^2 + AM^2 - 2OM \cdot AM \cos \theta$

$a^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2} a)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2} a)^2 - 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} a) (\frac{\sqrt{3}}{2} a) \cos \theta$

$a^2 = \frac{3}{4} a^2 + \frac{3}{4} a^2 - 2 \frac{3}{4} a^2 \cos \theta$

$a^2 = \frac{3}{2} a^2 - \frac{3}{2} a^2 \cos \theta$

$\frac{3}{2} a^2 \cos \theta = \frac{1}{2} a^2$

$\cos \theta = \frac{1}{3}$

(2) OH の長さについて

H は $\triangle ABC$ の重心である。したがって、$AH = \frac{2}{3} AM = \frac{2}{3} \frac{\sqrt{3}}{2} a = \frac{\sqrt{3}}{3} a$ である。

$\triangle OHA$ は直角三角形なので、$OH^2 + AH^2 = OA^2$ より、

$OH^2 = OA^2 - AH^2 = a^2 - (\frac{\sqrt{3}}{3} a)^2 = a^2 - \frac{3}{9} a^2 = a^2 - \frac{1}{3} a^2 = \frac{2}{3} a^2$

$OH = \sqrt{\frac{2}{3}} a = \frac{\sqrt{6}}{3} a$

(3) $\triangle ABC$ の面積 S について

正三角形の面積の公式より、$S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$

(4) 正四面体の体積 V について

$V = \frac{1}{3} S \cdot OH = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} a = \frac{\sqrt{18}}{36} a^3 = \frac{3\sqrt{2}}{36} a^3 = \frac{\sqrt{2}}{12} a^3$

(5) 正四面体の内接球の半径 r について

$V = \frac{1}{3} r (S \times 4)$

$\frac{\sqrt{2}}{12} a^3 = \frac{4}{3} r (\frac{\sqrt{3}}{4} a^2)$

$\frac{\sqrt{2}}{12} a^3 = \frac{\sqrt{3}}{3} r a^2$

$r = \frac{\sqrt{2}}{12} a^3 \cdot \frac{3}{\sqrt{3} a^2} = \frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{3}} a = \frac{\sqrt{6}}{12} a$

(6) 正四面体の外接球の半径 R について

正四面体OABCにおいて、重心GはOHをOG:GH=3:1に内分する。外接球の中心をPとすると、PはOH上にある。OP=AP=Rである。

HP = |OH - OP| = |OH - R|

$R^2 = (\frac{\sqrt{3}}{3}a)^2 + (OH-R)^2 = (\frac{\sqrt{3}}{3}a)^2 + (\frac{\sqrt{6}}{3}a-R)^2$

$R^2 = \frac{a^2}{3} + \frac{2a^2}{3} - 2\frac{\sqrt{6}}{3} aR + R^2$

$0 = a^2 - 2\frac{\sqrt{6}}{3} aR$

$2\frac{\sqrt{6}}{3} aR = a^2$

$R = \frac{3}{2\sqrt{6}} a = \frac{3\sqrt{6}}{12} a = \frac{\sqrt{6}}{4} a$

3. 最終的な答え

(1) $\cos \theta = \frac{1}{3}$

(2) $OH = \frac{\sqrt{6}}{3} a$

(3) $S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$

(4) $V = \frac{\sqrt{2}}{12} a^3$

(5) $r = \frac{\sqrt{6}}{12} a$

(6) $R = \frac{\sqrt{6}}{4} a$