直角二等辺三角形ABCの辺上に頂点を持つ長方形PQCRを作る。長方形の面積が$6 cm^2$以上$12 cm^2$以下となる$x$の範囲を求める。ここで、$x$は線分CQの長さを表す。線分BCの長さは7 cmである。

1. 問題の内容

直角二等辺三角形ABCの辺上に頂点を持つ長方形PQCRを作る。長方形の面積が$6 cm^2$以上$12 cm^2$以下となる$x$の範囲を求める。ここで、$x$は線分CQの長さを表す。線分BCの長さは7 cmである。

2. 解き方の手順

直角二等辺三角形ABCにおいて、$BC = 7$より、$AC = 7$となる。

$CQ = x$とすると、$BQ = 7 - x$となる。

三角形PBQは直角二等辺三角形なので、$PQ = BQ = 7 - x$となる。

したがって、長方形PQCRの面積は、$x(7-x)$で表される。

長方形の面積が$6 cm^2$以上$12 cm^2$以下なので、

$6 \le x(7-x) \le 12$

という不等式を解くことになる。

まず、$6 \le x(7-x)$を解く。

$6 \le 7x - x^2$

$x^2 - 7x + 6 \le 0$

$(x-1)(x-6) \le 0$

よって、$1 \le x \le 6$。

次に、$x(7-x) \le 12$を解く。

$7x - x^2 \le 12$

$x^2 - 7x + 12 \ge 0$

$(x-3)(x-4) \ge 0$

よって、$x \le 3$または$x \ge 4$。

以上より、$1 \le x \le 6$と、$x \le 3$または$x \ge 4$を満たす$x$の範囲は、

$1 \le x \le 3$または$4 \le x \le 6$となる。

3. 最終的な答え

$1 \le x \le 3$または$4 \le x \le 6$