三角形ABCにおいて、点Oは外心である。$\angle BAC = 40^\circ$、$\angle ABO = 30^\circ$のとき、$\angle P$ の大きさを求める。点Pは線分BOを延長した線と線分ACとの交点である。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Oは外心である。$\angle BAC = 40^\circ$、$\angle ABO = 30^\circ$のとき、$\angle P$ の大きさを求める。点Pは線分BOを延長した線と線分ACとの交点である。

2. 解き方の手順

* 三角形ABCにおいて、$\angle BAC = 40^\circ$ であるから、中心角 $\angle BOC$ は円周角の2倍で、

$\angle BOC = 2 \times \angle BAC = 2 \times 40^\circ = 80^\circ$

* $\angle ABO = 30^\circ$ であり、点Oは三角形ABCの外心であるから、OA = OB となり、三角形OABは二等辺三角形である。したがって、$\angle BAO = \angle ABO = 30^\circ$。

* $\angle OAC = \angle BAC - \angle BAO = 40^\circ - 30^\circ = 10^\circ$

* 点Oは三角形ABCの外心であるから、OA = OC となり、三角形OACは二等辺三角形である。したがって、$\angle OCA = \angle OAC = 10^\circ$。

* 三角形OBCにおいて、OB = OC であるから、三角形OBCは二等辺三角形である。$\angle OBC = \angle OCB$。

また、$\angle BOC = 80^\circ$ であるから、

$\angle OBC = \angle OCB = \frac{180^\circ - 80^\circ}{2} = \frac{100^\circ}{2} = 50^\circ$

* $\angle ABC = \angle ABO + \angle OBC = 30^\circ + 50^\circ = 80^\circ$

* $\angle ACB = \angle OCA + \angle OCB = 10^\circ + 50^\circ = 60^\circ$

* 三角形ABCにおいて、$\angle ABC + \angle BAC + \angle ACB = 180^\circ$ であるから、$80^\circ + 40^\circ + 60^\circ = 180^\circ$

* 三角形ABPにおいて、$\angle ABP + \angle BAP + \angle APB = 180^\circ$ であるから、$\angle APB = 180^\circ - \angle ABP - \angle BAP$

ここで、$\angle ABP = \angle ABO = 30^\circ$、$\angle BAP = \angle BAC = 40^\circ$であるから、

$\angle APB = 180^\circ - 30^\circ - 40^\circ = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$

3. 最終的な答え

$\angle P = 110^\circ$