三角形ABCにおいて、点Oは外心であり、$\angle BAC = 60^\circ$、$\angle ABO = 17^\circ$であるとき、$\angle P$を求める。ここで、Pは線分BOと線分ACの交点である。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Oは外心であり、$\angle BAC = 60^\circ$、$\angle ABO = 17^\circ$であるとき、$\angle P$を求める。ここで、Pは線分BOと線分ACの交点である。

2. 解き方の手順

まず、$\angle ACB$を求める。外心Oは、三角形の各頂点からの距離が等しい点である。したがって、$OA = OB = OC$となる。

よって、$\triangle OAB$と$\triangle OBC$と$\triangle OCA$は二等辺三角形となる。

$\angle ABO = 17^\circ$なので、$\angle BAO = 17^\circ$である。

$\angle BAC = 60^\circ$なので、$\angle OAC = \angle BAC - \angle BAO = 60^\circ - 17^\circ = 43^\circ$である。

$\triangle OAC$は二等辺三角形なので、$\angle OCA = \angle OAC = 43^\circ$である。

$\angle OCB = x$とすると、$\angle OBC = x$となる。

三角形の内角の和は$180^\circ$なので、$\angle ABC + \angle ACB + \angle BAC = 180^\circ$である。

$\angle ABC = \angle ABO + \angle OBC = 17^\circ + x$

$\angle ACB = \angle OCA + \angle OCB = 43^\circ + x$

$\angle BAC = 60^\circ$

したがって、$17^\circ + x + 43^\circ + x + 60^\circ = 180^\circ$

$2x + 120^\circ = 180^\circ$

$2x = 60^\circ$

$x = 30^\circ$

したがって、$\angle ACB = 43^\circ + 30^\circ = 73^\circ$、$\angle ABC = 17^\circ + 30^\circ = 47^\circ$

$\angle BOC = 2 \angle BAC = 2 \times 60^\circ = 120^\circ$

$\angle OBC = 30^\circ$なので、$\angle OCB = 30^\circ$となる。

$\angle P$は$\angle BOP$のことである。

$\angle BOP = 180^\circ - \angle OBP - \angle BPO$

$\angle OBP = \angle ABO = 17^\circ$

$\angle AOP = 180^\circ - \angle OAP - \angle OPA$

$\angle P = 180 - (17 + \angle BPC)$

$\angle BPC = \angle APO$

$\angle AOP = 180^\circ - \angle OAP - \angle APO$

$\angle APO$を求めるために、$\triangle ABP$について考える。

$\angle BAP = 60^\circ$、$\angle ABP = 17^\circ$なので、$\angle BPA = 180^\circ - 60^\circ - 17^\circ = 103^\circ$となる。

したがって、$\angle P = \angle BPA = 103^\circ$

3. 最終的な答え

$\angle P = 103^\circ$