1. 問題の内容
点Oが三角形ABCの外心であるとき、角xの大きさを求める問題です。三角形ABCにおいて、角BACは20度、角BCAは35度と与えられています。
2. 解き方の手順
三角形の内角の和は180度なので、角ABCを求めます。
角ABC = 180 - 角BAC - 角BCA = 180 - 20 - 35 = 125度。
外心は三角形の各頂点からの距離が等しい点なので、OA = OB = OCとなります。
したがって、三角形OABと三角形OBCは二等辺三角形になります。
三角形OABにおいて、OA = OBなので、角OAB = 角OBA = 20度。
三角形OBCにおいて、OB = OCなので、角OBC = 角OCB。
ここで、角ABC = 角OBA + 角OBCなので、
125 = 20 + 角OBC。
したがって、角OBC = 125 - 20 = 105度。
三角形OBCは二等辺三角形なので、角OCBも105度となります。
しかし、これは三角形の内角の和が180度を超えてしまうので、誤りです。
正しくは、角ABC = 180 - 20 - 35 = 125度。
角OBA = xとおくと、角OBC = 角ABC - 角OBA = 125 - x。
また、角OCA = 35度なので、角OCB = 角BCA - 角OCA = 35 - 角OCA。
OA = OB = OCより、三角形OAB, OBC, OCAは二等辺三角形なので、角OBA = 角OAB = x, 角OBC = 角OCB, 角OCA = 角OAC = 35。
角BAC = 角BAO + 角OAC = x + 35 = 20。矛盾している。
もう一度考えます。
角BAC = 20度、角BCA = 35度なので、角ABC = 180 - 20 - 35 = 125度。
点Oは外心なので、外接円の中心です。円周角の定理より、角BOC = 2 * 角BAC = 2 * 20 = 40度。
同様に、角AOB = 2 * 角ACB = 2 * 35 = 70度。
また、角COA = 2 * 角CBA = 2 * 125 = 250度。
三角形OBCはOB = OCの二等辺三角形なので、角OBC = 角OCB = (180 - 40) / 2 = 140 / 2 = 70度。
三角形OABはOA = OBの二等辺三角形なので、角OAB = 角OBA = (180 - 70) / 2 = 110 / 2 = 55度。
したがって、x = 角OBA = 55度。
3. 最終的な答え
55度