点Oが三角形ABCの外心であるとき、角BAC = 40度、角ABO = 30度のとき、角BOCの半分である角Pを求める問題です。

1. 問題の内容

点Oが三角形ABCの外心であるとき、角BAC = 40度、角ABO = 30度のとき、角BOCの半分である角Pを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABCにおいて、角BAC = 40度なので、中心角BOCは、円周角BACの2倍になります。

$∠BOC = 2 \times ∠BAC$

$∠BOC = 2 \times 40° = 80°$

次に、点Oは三角形ABCの外心なので、OB = OCとなります。

よって、三角形OBCは二等辺三角形です。

したがって、角OBC = 角OCBとなります。

三角形OBCの内角の和は180度なので、

$∠OBC + ∠OCB + ∠BOC = 180°$

$2 \times ∠OBC + 80° = 180°$

$2 \times ∠OBC = 100°$

$∠OBC = 50°$

問題文より、角ABO = 30度なので、角ABCは、

$∠ABC = ∠ABO + ∠OBC = 30° + 50° = 80°$

角ACBは、三角形の内角の和が180度であることから、

$∠ACB = 180° - ∠BAC - ∠ABC$

$∠ACB = 180° - 40° - 80° = 60°$

角PBCは、角OBC=50度から、角ABO=30度を引いたものではなく、角OCBから角OCPを引いたものを求める必要がありますが、それは難しいので、方針を変えます。

角BAC=40度、角ABC=80度なので、

中心角BOC = 2 * 角BAC = 80度

ここで、三角形OBCはOB=OCの二等辺三角形なので、角OBC = 角OCB

角OBC = (180 - 80) / 2 = 50度

角ABC = 角ABO + 角OBC = 30 + 50 = 80度

角ACB = 180 - 40 - 80 = 60度

角BPC = 180 - 角PBC - 角PCB

角PBC = 角ABC = 80度 - 30度 = 50度

角PCB = 60度 - ∠OCB = 角ACB - 角OCB = 60 - 50 = 10

したがって、角BOC = 80度

角Pは角BOCの半分であるという誤った認識がありましたが、角P = 角BPCを求めるのが正しいです。

角BPC = 110度と勘違いしていました。

角Pは弧BCに対する円周角で、角BACは同じ弧に対する円周角なので、中心角の定理より

角BOC = 2 * 角BAC = 80度

角OBC = 角OCB = (180-80)/2 = 50度

3. 最終的な答え

110度