三角形ABCにおいて、辺ABを2:1に内分する点をD、辺BCを1:3に内分する点をE、辺BCを3:1に内分する点をFとする。線分AEと線分FDの交点をPとする。DE = 6, AE = 16のとき、AFおよびAPの長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺ABを2:1に内分する点をD、辺BCを1:3に内分する点をE、辺BCを3:1に内分する点をFとする。線分AEと線分FDの交点をPとする。DE = 6, AE = 16のとき、AFおよびAPの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、メネラウスの定理を用いて、AFの長さを求める。

三角形EBCと直線FDについてメネラウスの定理を用いると、

$\frac{BD}{DE} \cdot \frac{EP}{PC} \cdot \frac{CF}{FB} = 1$

$\frac{AF}{FE} \cdot \frac{EP}{PC} \cdot \frac{CB}{BA} = 1$

AB:BD:DA = 3:1:2, BE:EC = 1:3, BF:FC = 3:1である。

したがって、CB = BE+EC = 4BEであり、CB = BF+FC = $\frac{4}{3}BF$である。

$\frac{BD}{DA} = \frac{1}{2}$

$\frac{CF}{FB} = \frac{1}{3}$

三角形ABEと直線FDについてメネラウスの定理を用いると、

$\frac{AD}{DB} \cdot \frac{BE}{EF} \cdot \frac{FP}{PA} = 1$が成り立つ。

$\frac{2}{1} \cdot \frac{BE}{EF} \cdot \frac{FP}{PA} = 1$

$\frac{EF}{BE} = \frac{AE}{AF}$

$EF = BF - BE = 3BE - BE = 2BE$

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{FP}{PA} = 1$

$\frac{FP}{PA} = 1$

ゆえに、AFはEFの中点であるため、$\frac{FP}{PA} = 1$なので、

$\frac{AE}{AF}$を求める。

$\frac{AD}{DB} \cdot \frac{BE}{EC} \cdot \frac{CF}{FA} = 1$

$\frac{AE}{EP} \cdot \frac{PF}{FD} = \frac{6}{5}$

チェバの定理より、

$\frac{AD}{DB} \cdot \frac{BE}{EC} \cdot \frac{CF}{FA}=1$

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{CF}{FA}=1$

$\frac{CF}{FA} = \frac{3}{2}$

$AF = \frac{2}{5} AC$

$AE=16$

$DE=6$

$AD = \frac{2}{3}AB$

三角形ABCにおいて、AEとDFの交点がPである。AE=16であるとき、APの長さを求める。

$\triangle ADF \sim \triangle ECP$

$\triangle BDP \sim \triangle AEP$

$AB = 3k$, $AD = 2k$, $BD = k$

$BC = 4l$, $BE = l$, $CF = 3l$

$AE=16$

$\frac{AP}{PE} = \frac{AD}{BE} = \frac{2k}{l}$

$\frac{AP}{AE} = \frac{AD}{AD+DE} = \frac{2k}{2k+6}$

$\frac{AP}{16} = \frac{2}{3}$

$AP=\frac{2}{3} AE$

AP : PE = AD : BE

AP:PE = 2:1より、

$AP = \frac{32}{3}$

$\frac{2k}{l} = \frac{AP}{PE}$

$AE = 16$

$\frac{AP}{16-AP} = \frac{AD}{BE} = \frac{\frac{2}{3}AB}{\frac{1}{4}BC} = \frac{8AB}{3BC}$

$AP = 10$

3. 最終的な答え

AF = 10, AP = $\frac{32}{5}$