三角形ABCにおいて、線分AF:FB = 2:3、線分AE:EC = 4:5であるとき、線分AG:GDの比を求める問題です。ただし、点Gは線分BEと線分CFの交点です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、線分AF:FB = 2:3、線分AE:EC = 4:5であるとき、線分AG:GDの比を求める問題です。ただし、点Gは線分BEと線分CFの交点です。

2. 解き方の手順

この問題はチェバの定理とメネラウスの定理を利用して解きます。

まず、チェバの定理より、

$\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$

与えられた条件より、$\frac{AF}{FB} = \frac{2}{3}$、$\frac{AE}{EC} = \frac{4}{5}$なので、$\frac{CE}{EA} = \frac{5}{4}$となります。

これをチェバの定理の式に代入すると、

$\frac{2}{3} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{5}{4} = 1$

$\frac{BD}{DC} = \frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 5} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$

次に、三角形ACDと直線BEについてメネラウスの定理を用いると、

$\frac{AE}{EC} \cdot \frac{CB}{BD} \cdot \frac{DG}{GA} = 1$

$\frac{AE}{EC} = \frac{4}{5}$であり、$CB = CD + BD$ですので、$CB = 5 + 6 = 11$となります。$\frac{CB}{BD} = \frac{11}{6}$

したがって、

$\frac{4}{5} \cdot \frac{11}{6} \cdot \frac{DG}{GA} = 1$

$\frac{DG}{GA} = \frac{5 \cdot 6}{4 \cdot 11} = \frac{30}{44} = \frac{15}{22}$

よって、$\frac{AG}{GD} = \frac{22}{15}$

3. 最終的な答え

AG:GD = 22:15

[ アイ]:22

[ ウエ]:15