台形ABCDにおいて、$AD = 6$, $BC = 9$, $AD \parallel BC$である。辺ABを3等分する点をAに近い方からP, Qとする。P, Qを通りBCに平行な直線が辺DCと交わる点をそれぞれR, Sとするとき、線分PR, QSの長さを求めよ。

1. 問題の内容

台形ABCDにおいて、$AD = 6$, $BC = 9$, $AD \parallel BC$である。辺ABを3等分する点をAに近い方からP, Qとする。P, Qを通りBCに平行な直線が辺DCと交わる点をそれぞれR, Sとするとき、線分PR, QSの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

PR, QSの長さをそれぞれ求める。

PからBCに平行な直線を引いたとき、AD // PR // BCとなる。

$AP = PQ = QB$なので、$AP:AB = 1:3$、 $AQ:AB = 2:3$である。

PRの長さを求める。台形ABCDにおいて、AD // PR // BCであるので、線分PRの長さは、$AD$と$BC$の重みづけ平均で求めることができる。

PRの長さは、$PR = AD + \frac{AP}{AB}(BC - AD) = AD + \frac{1}{3}(BC - AD)$

同様に、QSの長さは、$QS = AD + \frac{AQ}{AB}(BC - AD) = AD + \frac{2}{3}(BC - AD)$

$PR = 6 + \frac{1}{3}(9 - 6) = 6 + \frac{1}{3}(3) = 6 + 1 = 7$

$QS = 6 + \frac{2}{3}(9 - 6) = 6 + \frac{2}{3}(3) = 6 + 2 = 8$

3. 最終的な答え

PRの長さは7

QSの長さは8