台形ABCDがあり、AD = 10, BC = 16, DF = 12, FC = 4である。また、辺AB, CDの中点をそれぞれE, Fとし、EF上に点G, Hがある。このとき、線分GHの長さを$x$とする。

1. 問題の内容

台形ABCDがあり、AD = 10, BC = 16, DF = 12, FC = 4である。また、辺AB, CDの中点をそれぞれE, Fとし、EF上に点G, Hがある。このとき、線分GHの長さを$x$とする。

2. 解き方の手順

まず、EFは台形ABCDの中点連結線なので、

$EF = \frac{AD + BC}{2}$

$EF = \frac{10 + 16}{2} = \frac{26}{2} = 13$

次に、$\triangle CDF$において、HはDF上にあるので、$\triangle CFH \sim \triangle CDF$ではない。

しかし、EF//AD//BCなので、$\triangle CFH$に注目すると、

$\triangle CFH \sim \triangle CDB$である。

したがって、$FH$を求める。

$\frac{FH}{FD} = \frac{CF}{CD}$が成り立つ。

$CD = DF + FC = 12 + 4 = 16$

$\frac{FH}{12} = \frac{4}{16}$

$FH = \frac{4}{16} \times 12 = \frac{1}{4} \times 12 = 3$

また、GはEF上にあるので、

$\triangle AB$の中点連結定理より、$\frac{AG}{AC} = \frac{DG}{DB} = \frac{1}{2}$

$\triangle AD$の中点連結定理より、$\frac{AE}{AB} = \frac{DE}{DC} = \frac{1}{2}$

$EF = 13$

$GH = EF - EG - FH$

ここで、$\frac{EG}{AD} = \frac{EB}{AB} = \frac{1}{2}$

$EG = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} \times 10 = 5$

$x = GH = EF - EG - FH = 13 - 5 - 3 = 5$

3. 最終的な答え

x = 5