$\triangle ABC$ において、$BC=6$, $CA=10$, $AB=9$ である。$\angle B$ と $\angle C$ の二等分線がそれぞれ辺 $AC$, $AB$ と交わる点を $E$, $D$ とする。線分 $BE$ と線分 $CD$ の交点を $F$ とするとき、$\triangle ABC$ と $\triangle FBC$ の面積比を求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、$BC=6$, $CA=10$, $AB=9$ である。$\angle B$ と $\angle C$ の二等分線がそれぞれ辺 $AC$, $AB$ と交わる点を $E$, $D$ とする。線分 $BE$ と線分 $CD$ の交点を $F$ とするとき、$\triangle ABC$ と $\triangle FBC$ の面積比を求めよ。

2. 解き方の手順

三角形の面積比を求めるために、$\triangle ABC$ と $\triangle FBC$ の面積をそれぞれ計算する必要はありません。面積比は高さが共通であれば底辺の比、底辺が共通であれば高さの比に等しくなります。今回は、$\triangle ABC$ と $\triangle FBC$ の高さを共有するような辺を見つけ出すことを考えます。

(1) 角の二等分線の性質より、$AD:DC = AB:BC$ であるから、

$AD:DC = 9:6 = 3:2$

よって、$AD = \frac{3}{5}AC = \frac{3}{5} \times 10 = 6$ であり、$DC = \frac{2}{5}AC = \frac{2}{5} \times 10 = 4$ である。

(2) 同様に、$AE:EB = AC:BC$ であるから、

$AE:EB = 10:6 = 5:3$

よって、$AE = \frac{5}{8}AB = \frac{5}{8} \times 9 = \frac{45}{8}$ であり、$EB = \frac{3}{8}AB = \frac{3}{8} \times 9 = \frac{27}{8}$ である。

(3) ここで、メネラウスの定理を $\triangle ABD$ と直線 $CD$ に適用すると、

$\frac{AE}{EB} \times \frac{BF}{FD} \times \frac{DC}{CA} = 1$

$\frac{45/8}{27/8} \times \frac{BF}{FD} \times \frac{4}{10} = 1$

$\frac{45}{27} \times \frac{BF}{FD} \times \frac{2}{5} = 1$

$\frac{5}{3} \times \frac{BF}{FD} \times \frac{2}{5} = 1$

$\frac{2}{3} \times \frac{BF}{FD} = 1$

$\frac{BF}{FD} = \frac{3}{2}$

(4) よって、$BF:BD = 3:5$ となるから、$\triangle FBC$ の面積は、$\triangle DBC$ の面積の $\frac{3}{5}$ 倍である。

$\triangle DBC = \frac{DC}{AC} \triangle ABC = \frac{4}{10} \triangle ABC = \frac{2}{5} \triangle ABC$

$\triangle FBC = \frac{3}{5} \triangle DBC = \frac{3}{5} \times \frac{2}{5} \triangle ABC = \frac{6}{25} \triangle ABC$

(5) したがって、$\triangle ABC : \triangle FBC = 1 : \frac{6}{25} = 25:6$ となる。

3. 最終的な答え

25 : 6