三角形ABCの面積が189であり、辺BCを1:2に内分する点をDとする。角ADBと角ADCの二等分線がそれぞれ辺AB, ACと交わる点をE, Fとする。AD:BC=5:6のとき、三角形AEFの面積を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCの面積が189であり、辺BCを1:2に内分する点をDとする。角ADBと角ADCの二等分線がそれぞれ辺AB, ACと交わる点をE, Fとする。AD:BC=5:6のとき、三角形AEFの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、ADとBCの比からADの長さを求める。次に、角の二等分線の性質を利用して、AE/EBとAF/FCの比を求める。最後に、面積比を用いて三角形AEFの面積を計算する。

ステップ1: ADの長さを求める

三角形ABCの面積をSとすると、$S = 189$。

AD:BC = 5:6なので、$AD = 5x$, $BC = 6x$とおける。

点DはBCを1:2に内分するので、$BD = \frac{1}{3}BC = \frac{1}{3}(6x) = 2x$, $DC = \frac{2}{3}BC = \frac{2}{3}(6x) = 4x$.

ステップ2: 角の二等分線の性質を利用する

角ADBの二等分線がABとEで交わるので、角の二等分線の性質より、

$AE:EB = AD:DB = 5x:2x = 5:2$

同様に、角ADCの二等分線がACとFで交わるので、角の二等分線の性質より、

$AF:FC = AD:DC = 5x:4x = 5:4$

ステップ3: 面積比を計算する

$\frac{AE}{AB} = \frac{AE}{AE+EB} = \frac{5}{5+2} = \frac{5}{7}$

$\frac{AF}{AC} = \frac{AF}{AF+FC} = \frac{5}{5+4} = \frac{5}{9}$

三角形AEFの面積を$S_{AEF}$とすると、

$S_{AEF} = \frac{AE}{AB} \cdot \frac{AF}{AC} \cdot S = \frac{5}{7} \cdot \frac{5}{9} \cdot 189$

$S_{AEF} = \frac{25}{63} \cdot 189 = 25 \cdot 3 = 75$

3. 最終的な答え

三角形AEFの面積は75。