(1) 次の点と直線の距離を求めます。 (ア) 原点, $4x + 3y - 12 = 0$ (イ) 点(2, -3), $2x - 3y + 5 = 0$ (ウ) 点(-1, 3), $x = 2$ (エ) 点(5, 6), $y = 3$ (2) 平行な2直線 $x - 2y + 3 = 0$, $x - 2y - 1 = 0$ 間の距離を求めます。 (3) 点 (1, 1) から直線 $ax - 2y - 1 = 0$ に下ろした垂線の長さが $\sqrt{2}$ であるとき、定数 $a$ の値を求めます。

はい、承知しました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(1) 次の点と直線の距離を求めます。

(ア) 原点, $4x + 3y - 12 = 0$

(イ) 点(2, -3), $2x - 3y + 5 = 0$

(ウ) 点(-1, 3), $x = 2$

(エ) 点(5, 6), $y = 3$

(2) 平行な2直線 $x - 2y + 3 = 0$, $x - 2y - 1 = 0$ 間の距離を求めます。

(3) 点 (1, 1) から直線 $ax - 2y - 1 = 0$ に下ろした垂線の長さが $\sqrt{2}$ であるとき、定数 $a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 点と直線の距離の公式を利用します。点$(x_0, y_0)$と直線$Ax + By + C = 0$ の距離 $d$ は、

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

で求められます。

(ア) 原点(0, 0)と直線 $4x + 3y - 12 = 0$ の距離は、

$d = \frac{|4(0) + 3(0) - 12|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|-12|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{12}{5}$

(イ) 点(2, -3)と直線 $2x - 3y + 5 = 0$ の距離は、

$d = \frac{|2(2) - 3(-3) + 5|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} = \frac{|4 + 9 + 5|}{\sqrt{4 + 9}} = \frac{18}{\sqrt{13}} = \frac{18\sqrt{13}}{13}$

(ウ) 点(-1, 3)と直線 $x = 2$, つまり $x - 2 = 0$ の距離は、

$d = \frac{|1(-1) - 2|}{\sqrt{1^2 + 0^2}} = \frac{|-3|}{\sqrt{1}} = 3$

(エ) 点(5, 6)と直線 $y = 3$, つまり $y - 3 = 0$ の距離は、

$d = \frac{|1(6) - 3|}{\sqrt{0^2 + 1^2}} = \frac{|3|}{\sqrt{1}} = 3$

(2) 平行な2直線間の距離は、一方の直線上の点からもう一方の直線までの距離として求められます。

直線 $x - 2y + 3 = 0$ 上の点として、例えば $y = 0$ とすると $x = -3$ となり、点(-3, 0)を取ります。

点(-3, 0)と直線 $x - 2y - 1 = 0$ の距離は、

$d = \frac{|1(-3) - 2(0) - 1|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{|-4|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{5}$

(3) 点 (1, 1) から直線 $ax - 2y - 1 = 0$ への距離が $\sqrt{2}$ なので、

$\sqrt{2} = \frac{|a(1) - 2(1) - 1|}{\sqrt{a^2 + (-2)^2}} = \frac{|a - 3|}{\sqrt{a^2 + 4}}$

両辺を2乗すると、

$2 = \frac{(a - 3)^2}{a^2 + 4}$

$2(a^2 + 4) = (a - 3)^2$

$2a^2 + 8 = a^2 - 6a + 9$

$a^2 + 6a - 1 = 0$

$a = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 4}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{10}}{2} = -3 \pm \sqrt{10}$

3. 最終的な答え

(1)

(ア) $\frac{12}{5}$

(イ) $\frac{18\sqrt{13}}{13}$

(ウ) 3

(エ) 3

(2) $\frac{4\sqrt{5}}{5}$

(3) $a = -3 \pm \sqrt{10}$