3点 $A(-2, -1)$, $B(4, -3)$, $C(1, 2)$ を頂点とする三角形の外接円の方程式を求める。

1. 問題の内容

3点 $A(-2, -1)$, $B(4, -3)$, $C(1, 2)$ を頂点とする三角形の外接円の方程式を求める。

2. 解き方の手順

円の方程式を $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ とおく。

この円が3点 $A$, $B$, $C$ を通るので、それぞれの座標を代入して3つの方程式を得る。

$A(-2, -1)$ を代入すると、

$(-2)^2 + (-1)^2 -2a -b + c = 0$

$4 + 1 -2a -b + c = 0$

$-2a -b + c = -5$ ...(1)

$B(4, -3)$ を代入すると、

$4^2 + (-3)^2 + 4a -3b + c = 0$

$16 + 9 + 4a -3b + c = 0$

$4a -3b + c = -25$ ...(2)

$C(1, 2)$ を代入すると、

$1^2 + 2^2 + a + 2b + c = 0$

$1 + 4 + a + 2b + c = 0$

$a + 2b + c = -5$ ...(3)

(1), (2), (3) の連立方程式を解く。

(2) - (1) より、

$6a -2b = -20$

$3a -b = -10$ ...(4)

(3) - (1) より、

$3a + 3b = 0$

$a + b = 0$

$b = -a$ ...(5)

(4) に (5) を代入すると、

$3a - (-a) = -10$

$4a = -10$

$a = -\frac{5}{2}$

(5) より、

$b = -a = \frac{5}{2}$

(3) に $a = -\frac{5}{2}$, $b = \frac{5}{2}$ を代入すると、

$-\frac{5}{2} + 2(\frac{5}{2}) + c = -5$

$-\frac{5}{2} + 5 + c = -5$

$\frac{5}{2} + c = -5$

$c = -5 - \frac{5}{2} = -\frac{15}{2}$

よって、円の方程式は

$x^2 + y^2 - \frac{5}{2}x + \frac{5}{2}y - \frac{15}{2} = 0$

$2x^2 + 2y^2 - 5x + 5y - 15 = 0$

3. 最終的な答え

$2x^2 + 2y^2 - 5x + 5y - 15 = 0$