円 $(x+2)^2 + (y-3)^2 = 2$ と直線 $y=ax+5$ が異なる2点で交わるような定数 $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

円 $(x+2)^2 + (y-3)^2 = 2$ と直線 $y=ax+5$ が異なる2点で交わるような定数 $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

円と直線が異なる2点で交わる条件は、円の中心と直線の距離が円の半径より小さいことである。

円 $(x+2)^2 + (y-3)^2 = 2$ の中心は $(-2, 3)$ で、半径は $\sqrt{2}$ である。

直線 $y=ax+5$ は $ax-y+5=0$ と変形できる。

円の中心 $(-2, 3)$ と直線 $ax-y+5=0$ の距離 $d$ は、

$d = \frac{|a(-2) - 3 + 5|}{\sqrt{a^2 + (-1)^2}} = \frac{|-2a+2|}{\sqrt{a^2+1}}$

円と直線が異なる2点で交わるためには、$d < \sqrt{2}$ でなければならない。

したがって、

$\frac{|-2a+2|}{\sqrt{a^2+1}} < \sqrt{2}$

両辺を2乗すると、

$\frac{(-2a+2)^2}{a^2+1} < 2$

$(-2a+2)^2 < 2(a^2+1)$

$4a^2 - 8a + 4 < 2a^2 + 2$

$2a^2 - 8a + 2 < 0$

$a^2 - 4a + 1 < 0$

二次方程式 $a^2 - 4a + 1 = 0$ の解を求める。

$a = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16-4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$

したがって、$a^2 - 4a + 1 < 0$ の解は、$2 - \sqrt{3} < a < 2 + \sqrt{3}$ である。

3. 最終的な答え

$2 - \sqrt{3} < a < 2 + \sqrt{3}$