長方形ABCDがあり、辺BCの中点をMとする。点PはAを、点QはDをそれぞれ毎秒1cmの速さで同時に出発し、点PはBを通って、点QはCを通ってともにMまで周上を動く。出発からx秒後における四角形APQDの面積をy cm²とする。 (1) 4秒後における四角形APQDの面積を求める。 (2) 点Pが線分BM上を動くとき、yをxの式で表し、そのときのxの変域を求める。

1. 問題の内容

長方形ABCDがあり、辺BCの中点をMとする。点PはAを、点QはDをそれぞれ毎秒1cmの速さで同時に出発し、点PはBを通って、点QはCを通ってともにMまで周上を動く。出発からx秒後における四角形APQDの面積をy cm²とする。

(1) 4秒後における四角形APQDの面積を求める。

(2) 点Pが線分BM上を動くとき、yをxの式で表し、そのときのxの変域を求める。

2. 解き方の手順

(1) 4秒後について考える。

点PはAから出発して4秒後なので、ABの長さは3cmより、点Pは線分BM上にある。同様に、点QはDから出発して4秒後なので、DCの長さは6cmより、点Qも線分CM上にある。

APQDは台形なので、面積は(上底+下底)×高さ÷2で求められる。

上底AD = 6cm

下底PQ = BC - BP - CQ = 6cm - (4-3)cm - (4-3)cm = 6cm - 1cm - 1cm = 4cm

高さはADとBCの距離である3cm

よって、面積は $(6+4) \times 3 \div 2 = 15$ cm²

(2) 点Pが線分BM上を動くときを考える。

点Pが線分BM上にあるとき、$3 \le x \le 6$ である。

点PはBから$x-3$ cm進んだ位置にあり、点QはCから$x-3$ cm進んだ位置にある。

APQDは台形なので、面積は(上底+下底)×高さ÷2で求められる。

上底AD = 6cm

下底PQ = BC - BP - CQ = 6cm - (x-3)cm - (x-3)cm = 6cm - x + 3cm - x + 3cm = 12 - 2x cm

高さはADとBCの距離である3cm

よって、面積yは $y = (6 + (12 - 2x)) \times 3 \div 2 = (18 - 2x) \times 3 \div 2 = (54 - 6x) \div 2 = 27 - 3x$

xの変域は $3 \le x \le 6$

3. 最終的な答え

(1) 15 cm²

(2) 式: $y = 27 - 3x$

変域: $3 \le x \le 6$