円 $x^2 + y^2 = 5$ と以下の直線が共有点を持つかどうかを調べ、共有点を持つ場合はその座標を求める問題です。 (1) $y = 2x - 5$ (2) $x + y - 5 = 0$ (3) $x + 2y = 3$

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 5$ と以下の直線が共有点を持つかどうかを調べ、共有点を持つ場合はその座標を求める問題です。

(1) $y = 2x - 5$

(2) $x + y - 5 = 0$

(3) $x + 2y = 3$

2. 解き方の手順

各直線と円の交点を求めるには、直線の式を円の式に代入して得られる2次方程式の判別式を調べる方法があります。判別式 $D$ が正であれば共有点は2つ、0であれば共有点は1つ（接する）、負であれば共有点はありません。共有点が存在する場合、$x$ または $y$ の値を求め、それを直線の式に代入してもう一方の座標を求めます。

(1) $y = 2x - 5$ を $x^2 + y^2 = 5$ に代入します。

$x^2 + (2x - 5)^2 = 5$

$x^2 + 4x^2 - 20x + 25 = 5$

$5x^2 - 20x + 20 = 0$

$x^2 - 4x + 4 = 0$

$(x - 2)^2 = 0$

$x = 2$

$y = 2(2) - 5 = -1$

したがって、共有点は $(2, -1)$ です。

(2) $x + y - 5 = 0$ より $y = 5 - x$ を $x^2 + y^2 = 5$ に代入します。

$x^2 + (5 - x)^2 = 5$

$x^2 + 25 - 10x + x^2 = 5$

$2x^2 - 10x + 20 = 0$

$x^2 - 5x + 10 = 0$

判別式 $D = (-5)^2 - 4(1)(10) = 25 - 40 = -15 < 0$

したがって、共有点はありません。

(3) $x + 2y = 3$ より $x = 3 - 2y$ を $x^2 + y^2 = 5$ に代入します。

$(3 - 2y)^2 + y^2 = 5$

$9 - 12y + 4y^2 + y^2 = 5$

$5y^2 - 12y + 4 = 0$

$(5y - 2)(y - 2) = 0$

$y = \frac{2}{5}, 2$

$y = \frac{2}{5}$ のとき、$x = 3 - 2(\frac{2}{5}) = 3 - \frac{4}{5} = \frac{11}{5}$

$y = 2$ のとき、$x = 3 - 2(2) = 3 - 4 = -1$

したがって、共有点は $(\frac{11}{5}, \frac{2}{5})$ と $(-1, 2)$ です。

3. 最終的な答え

(1) 共有点あり。座標は $(2, -1)$。

(2) 共有点なし。

(3) 共有点あり。座標は $(\frac{11}{5}, \frac{2}{5})$ と $(-1, 2)$。