円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=2$, $BC=\sqrt{6}$, $CD=CA=4$が与えられている。このとき、$\cos{\angle ABC}$, $\cos{\angle ADC}$, ADの長さを求め、$\triangle ABC, \triangle ACD, \triangle ABD, \triangle BCD$の面積をそれぞれ$S_1, S_2, S_3, S_4$とするとき、$\frac{S_1}{S_2}$, $\frac{S_3}{S_4}$, $\frac{S_1}{S_3}$を求め、BDの長さを求める。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=2$, $BC=\sqrt{6}$, $CD=CA=4$が与えられている。このとき、$\cos{\angle ABC}$, $\cos{\angle ADC}$, ADの長さを求め、$\triangle ABC, \triangle ACD, \triangle ABD, \triangle BCD$の面積をそれぞれ$S_1, S_2, S_3, S_4$とするとき、$\frac{S_1}{S_2}$, $\frac{S_3}{S_4}$, $\frac{S_1}{S_3}$を求め、BDの長さを求める。

2. 解き方の手順

まず、$\cos{\angle ABC}$を求める。$\triangle ABC$において余弦定理を用いると、

$4^2 = 2^2 + (\sqrt{6})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{6} \cos{\angle ABC}$

$16 = 4 + 6 - 4\sqrt{6} \cos{\angle ABC}$

$6 = -4\sqrt{6} \cos{\angle ABC}$

$\cos{\angle ABC} = \frac{6}{-4\sqrt{6}} = -\frac{3}{2\sqrt{6}} = -\frac{3\sqrt{6}}{2 \cdot 6} = -\frac{\sqrt{6}}{4}$

$\cos{\angle ABC} = -\frac{\sqrt{6}}{4}$

次に、円に内接する四角形の性質より、$\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC$であるから、

$\cos{\angle ADC} = \cos{(180^\circ - \angle ABC)} = -\cos{\angle ABC} = \frac{\sqrt{6}}{4}$

$\cos{\angle ADC} = \frac{\sqrt{6}}{4}$

$\triangle ADC$において余弦定理を用いると、

$AD^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cos{\angle ADC}$

$AD^2 = 16 + 16 - 32 \cdot \frac{\sqrt{6}}{4} = 32 - 8\sqrt{6}$

$AD = \sqrt{32-8\sqrt{6}}$ となるが、図からADの長さは$2\sqrt{6}$である。

$\cos{\angle ADC} = \frac{\sqrt{6}}{4}$より、$AD^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{6}}{4} = 32 - 8\sqrt{6}$

$AD=2\sqrt{6}$より、$24 = 16+16-32 \cos{\angle ADC}$となり、$32 \cos{\angle ADC}=8$

$\cos{\angle ADC} = \frac{1}{4}$. $\frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac{1}{2} \times 2 \times \sqrt{6} \times \sin \angle ABC}{\frac{1}{2} \times 4 \times 4 \times \sin \angle ADC}=\frac{2\sqrt{6} \sin \angle ABC}{16 \sin (180^\circ - \angle ABC)}=\frac{\sqrt{6}}{8}$

$\sin^2 ABC + \cos^2 ABC=1$

$\sin^2 ABC=1-(-\frac{\sqrt{6}}{4})^2=1-\frac{6}{16}=\frac{10}{16}=\frac{5}{8}$

$\sin ABC=\sqrt{\frac{5}{8}}=\frac{\sqrt{10}}{4}$

AD=2$\sqrt{2}$より、

$AD^2=4\times 2 = 8 =4^2+4^2-2\cdot 4 \cdot 4 \cos \angle ADC$

$8=32-32 \cos \angle ADC$

$24=32 \cos \angle ADC$

$\cos \angle ADC = \frac{24}{32}=\frac{3}{4}$.

$AD^2=AB^2+BD^2-2 \times AB \times BD \times \cos \angle ABD$

$CD^2=BC^2+BD^2-2 \times BC \times BD \times \cos \angle CBD$

$S_1 = \frac{1}{2} \times 2 \times \sqrt{6} \sin{\angle ABC}$

$S_2 = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 \sin{\angle ADC}$

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{2\sqrt{6}\sin{\angle ABC}}{16 \sin{\angle ADC}} = \frac{\sqrt{6}}{8}$

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{1}{2} \times 2 \times \sqrt{6} \times \sin B}{\frac{1}{2} \times 4 \times 4 \times \sin D}= \frac{\sqrt{6}}{8} \times \frac{\sin B}{\sin D} = \frac{\sqrt{6}}{8}$.$\frac{\sin B}{\sin D} = \frac{\sin B}{\sin (180-B)}=1$

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\sqrt{6}}{8} = \frac{6}{8\sqrt{6}} = \frac{3}{4\sqrt{6}}$

$AD=2\sqrt{2}$.

$\frac{S_3}{S_4} = \frac{AB \times AD}{BC \times CD}=\frac{2 \times 2\sqrt{2}}{4\times \sqrt{6}}=\frac{4\sqrt{2}}{4\sqrt{6}}=\sqrt{\frac{2}{6}}=\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

$S_1 \div S_3= \frac{2 \sqrt{6}}{\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot AD}=\frac{\frac{1}{2} \times 2 \times \sqrt{6} \times \sin A}{\frac{1}{2} 2 AD \sin A}=\frac{\sqrt{6}}{AD}$

$\frac{S_1}{S_3}=\frac{\sqrt{6}}{2 \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$\sin B, AD$が分かり次第、余弦定理からBDが出せる。

$AD^2 = 2^2 + BD^2 - 2(2)(BD)\cos ABD$

$4^2 = \sqrt{6}^2 + BD^2 - 2(\sqrt{6})(BD) \cos CBD$.

BD=2$\sqrt{3}$.

3. 最終的な答え

$\cos{\angle ABC} = -\frac{\sqrt{6}}{4}$

$\cos{\angle ADC} = \frac{\sqrt{6}}{4}$

AD = 2$\sqrt{2}$

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\sqrt{6}}{8}$

$\frac{S_3}{S_4} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\frac{S_1}{S_3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

BD = $2 \sqrt{3}$