三角形ABCにおいて、AE:EB = 2:3、BD:DC = 1:3であるとき、以下の問題を解きます。 (1) AP:PDを求めよ。 (2) 三角形PDC:三角形ABCを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AE:EB = 2:3、BD:DC = 1:3であるとき、以下の問題を解きます。

(1) AP:PDを求めよ。

(2) 三角形PDC:三角形ABCを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) AP:PDを求める。

メネラウスの定理を三角形BCDと直線AEに関して適用します。

$\frac{BA}{AE} \times \frac{EP}{PC} \times \frac{CD}{DB} = 1$

$\frac{5}{2} \times \frac{EP}{PC} \times \frac{3}{1} = 1$

$\frac{EP}{PC} = \frac{2}{15}$

したがって、AE:EC = 2 : (15+2) = 2:17 です。

メネラウスの定理を三角形ADCと直線BEに関して適用します。

$\frac{CB}{BD} \times \frac{DP}{PA} \times \frac{AE}{EC} = 1$

$\frac{4}{1} \times \frac{DP}{PA} \times \frac{2}{17} = 1$

$\frac{DP}{PA} = \frac{17}{8}$

$\frac{AP}{PD} = \frac{8}{17}$

(2) 三角形PDC:三角形ABCを求める。

三角形ABDの面積は、三角形ABCの面積の$\frac{1}{4}$です。

三角形APDの面積は、三角形ABDの面積の$\frac{8}{8+17}$倍です。

$\frac{8}{25} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{25}$

三角形ADCの面積は、三角形ABCの面積の$\frac{3}{4}$です。

三角形PDCの面積は、三角形ADCの面積の$\frac{17}{8+17}$倍です。

$\frac{17}{25} \times \frac{3}{4} = \frac{51}{100}$

したがって、三角形PDC : 三角形ABC = $\frac{51}{100}$

3. 最終的な答え

(1) AP:PD = 8:17

(2) 三角形PDC : 三角形ABC = 51:100