右の図で、$\triangle ABC$の頂点$A$を通り、辺$BC$に点$D$で接する円$O$がある。辺$AB$, $AC$と円$O$が交わる点をそれぞれ$E$, $F$とする。$AE=4$, $BE=2$, $AF=3$, $CF=1$のとき、$BD:CD = \Box : 1$である。$\Box$にあてはまる数を求めよ。

1. 問題の内容

右の図で、$\triangle ABC$の頂点$A$を通り、辺$BC$に点$D$で接する円$O$がある。辺$AB$, $AC$と円$O$が交わる点をそれぞれ$E$, $F$とする。$AE=4$, $BE=2$, $AF=3$, $CF=1$のとき、$BD:CD = \Box : 1$である。$\Box$にあてはまる数を求めよ。

2. 解き方の手順

方べきの定理を用いる。

まず、$AB$の長さを求める。$AB = AE + BE = 4 + 2 = 6$。

次に、$AC$の長さを求める。$AC = AF + CF = 3 + 1 = 4$。

円$O$は辺$BC$に点$D$で接するので、接弦定理より、$\angle ADE = \angle ACB$。

$\triangle ABD$と$\triangle ACB$において、$\angle A$は共通なので、$\triangle ABD \sim \triangle ACB$。

したがって、$AB:AC = BD:CD$。

$BD:CD = AB:AC = 6:4 = 3:2$。

$BD:CD = \frac{3}{2}:1$。

よって、$\Box$にあてはまる数は$\frac{3}{2}$である。

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2}$