問題は2つあります。 (1) AF=3, CF=1のとき、BD:CD=何:1であるかを求める問題。角の二等分線定理を利用します。 (2) 円Oは三角形ABCの外接円で、角Aの二等分線がBCと交わる点をD, 円Oの周と交わる点をEとする。AB=4, AC=3, DE=1のとき、ADとBDの長さをそれぞれ求める問題。

## 回答

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) AF=3, CF=1のとき、BD:CD=何:1であるかを求める問題。角の二等分線定理を利用します。

(2) 円Oは三角形ABCの外接円で、角Aの二等分線がBCと交わる点をD, 円Oの周と交わる点をEとする。AB=4, AC=3, DE=1のとき、ADとBDの長さをそれぞれ求める問題。

2. 解き方の手順

(1) BD:CDを求める問題

* 角の二等分線定理より、$BD:CD = AB:AC$が成り立ちます。

* ABとACの比を計算します。$AB:AC = 4:3$

* BD:CD = 4:3なので、BD:CD = $\frac{4}{3}:1$となります。

(2) ADとBDの長さを求める問題

* 角の二等分線の性質から、$BD:CD = AB:AC = 4:3$。したがって、$BD = \frac{4}{7}BC$、$CD = \frac{3}{7}BC$

* 方べきの定理より、$AD \cdot DE = BD \cdot CD$。

* $AD \cdot 1 = \frac{4}{7}BC \cdot \frac{3}{7}BC$ なので、$AD = \frac{12}{49} BC^2$。

* 三角形ABCにおいて、角Aの二等分線ADの長さの公式より、$AD^2 = AB \cdot AC - BD \cdot CD$。

* $AD^2 = 4 \cdot 3 - \frac{4}{7}BC \cdot \frac{3}{7}BC = 12 - \frac{12}{49}BC^2$

* $AD = \frac{12}{49}BC^2$ を代入すると、$(\frac{12}{49}BC^2)^2 = 12 - \frac{12}{49}BC^2$。

* $x = \frac{12}{49}BC^2$ と置くと、$x^2 = 12 - x$。

* $x^2 + x - 12 = 0$。

* $(x+4)(x-3) = 0$。

* $x = -4$ または $x = 3$。$x>0$より、$x=3$。

* $\frac{12}{49}BC^2 = 3$。

* $BC^2 = \frac{3 \cdot 49}{12} = \frac{49}{4}$。

* $BC = \frac{7}{2}$。

* $BD = \frac{4}{7} \cdot \frac{7}{2} = 2$。

* $AD = \frac{12}{49} \cdot (\frac{7}{2})^2 = \frac{12}{49} \cdot \frac{49}{4} = 3$。

3. 最終的な答え

(1) BD:CD = 4/3:1

(2) AD = 3, BD = 2