与えられた円の方程式と、円上の点の座標から、その点における接線の方程式を求める問題です。2つの問題があります。 (1) 円の方程式: $x^2 + y^2 = 4$、点: $(\sqrt{3}, -1)$ (2) 円の方程式: $(x+4)^2 + (y-4)^2 = 13$、点: $(-2, 1)$

1. 問題の内容

与えられた円の方程式と、円上の点の座標から、その点における接線の方程式を求める問題です。2つの問題があります。

(1) 円の方程式: $x^2 + y^2 = 4$、点: $(\sqrt{3}, -1)$

(2) 円の方程式: $(x+4)^2 + (y-4)^2 = 13$、点: $(-2, 1)$

2. 解き方の手順

(1) 円 $x^2 + y^2 = r^2$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式は $x_1x + y_1y = r^2$ で与えられます。

この問題の場合、$x^2 + y^2 = 4$ なので、$r^2 = 4$ です。また、$x_1 = \sqrt{3}$、$y_1 = -1$ です。

したがって、接線の方程式は

$\sqrt{3}x - y = 4$

となります。

(2) 円 $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式は $(x_1-a)(x-a) + (y_1-b)(y-b) = r^2$ で与えられます。

この問題の場合、$(x+4)^2 + (y-4)^2 = 13$ なので、$a = -4$、$b = 4$、$r^2 = 13$ です。また、$x_1 = -2$、$y_1 = 1$ です。

したがって、接線の方程式は

$(-2+4)(x+4) + (1-4)(y-4) = 13$

$2(x+4) - 3(y-4) = 13$

$2x + 8 - 3y + 12 = 13$

$2x - 3y + 20 = 13$

$2x - 3y = -7$

となります。

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{3}x - y = 4$

(2) $2x - 3y = -7$