(1) 中心が直線 $y = x$ 上にあり、直線 $3x + 4y = 24$ と両座標軸に接する円の方程式を求める問題です。 (2) 円 $x^2 + 2x + y^2 - 2y + 1 = 0$ に接し、傾きが $-1$ の直線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

(1) 中心が直線 $y = x$ 上にあり、直線 $3x + 4y = 24$ と両座標軸に接する円の方程式を求める問題です。

(2) 円 $x^2 + 2x + y^2 - 2y + 1 = 0$ に接し、傾きが $-1$ の直線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1)

* 円の中心は直線 $y = x$ 上にあるので、中心の座標を $(a, a)$ とおくことができます。

* 円が両座標軸に接するので、円の半径は $|a|$ となります。

* したがって、円の方程式は $(x - a)^2 + (y - a)^2 = a^2$ と表せます。

* この円が直線 $3x + 4y = 24$ に接するので、円の中心 $(a, a)$ から直線 $3x + 4y - 24 = 0$ までの距離が半径 $|a|$ に等しくなります。

* 点と直線の距離の公式より、

$\frac{|3a + 4a - 24|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = |a|$

$\frac{|7a - 24|}{5} = |a|$

* 場合分けして解きます。

* $7a - 24 = 5a$ のとき、$2a = 24$ より $a = 12$

* $7a - 24 = -5a$ のとき、$12a = 24$ より $a = 2$

* したがって、円の方程式は $(x - 12)^2 + (y - 12)^2 = 144$ または $(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 4$ となります。

(2)

* 円の方程式 $x^2 + 2x + y^2 - 2y + 1 = 0$ を平方完成します。

$(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$

* したがって、円の中心は $(-1, 1)$ で、半径は $1$ です。

* 求める直線の方程式を $y = -x + k$ とおきます。

* 円の中心 $(-1, 1)$ から直線 $x + y - k = 0$ までの距離が半径 $1$ に等しいので、

$\frac{|-1 + 1 - k|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = 1$

$\frac{|k|}{\sqrt{2}} = 1$

$|k| = \sqrt{2}$

* したがって、$k = \pm \sqrt{2}$ となります。

* 求める直線の方程式は $y = -x + \sqrt{2}$ または $y = -x - \sqrt{2}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $(x - 12)^2 + (y - 12)^2 = 144$ または $(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 4$

(2) $y = -x + \sqrt{2}$ または $y = -x - \sqrt{2}$