直線 $y = -x + 1$ が円 $x^2 + y^2 - 8x - 6y = 0$ によって切り取られる弦の長さを求める問題です。

1. 問題の内容

直線 $y = -x + 1$ が円 $x^2 + y^2 - 8x - 6y = 0$ によって切り取られる弦の長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

ステップ1: 直線と円の交点を求める。

直線 $y = -x + 1$ を円の方程式 $x^2 + y^2 - 8x - 6y = 0$ に代入します。

$x^2 + (-x+1)^2 - 8x - 6(-x+1) = 0$

$x^2 + x^2 - 2x + 1 - 8x + 6x - 6 = 0$

$2x^2 - 4x - 5 = 0$

ステップ2: 交点のx座標を求める。

上記の2次方程式を解きます。解の公式を用いると、

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(2)(-5)}}{2(2)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 40}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{56}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{14}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{14}}{2}$

よって、2つの交点のx座標は $x_1 = \frac{2 + \sqrt{14}}{2}$ と $x_2 = \frac{2 - \sqrt{14}}{2}$ です。

ステップ3: 交点のy座標を求める。

$y = -x + 1$ にそれぞれのx座標を代入して、y座標を求めます。

$y_1 = -(\frac{2 + \sqrt{14}}{2}) + 1 = \frac{-2 - \sqrt{14} + 2}{2} = \frac{-\sqrt{14}}{2}$

$y_2 = -(\frac{2 - \sqrt{14}}{2}) + 1 = \frac{-2 + \sqrt{14} + 2}{2} = \frac{\sqrt{14}}{2}$

ステップ4: 2点間の距離を求める。

2つの交点は $(\frac{2 + \sqrt{14}}{2}, \frac{-\sqrt{14}}{2})$ と $(\frac{2 - \sqrt{14}}{2}, \frac{\sqrt{14}}{2})$ です。

2点間の距離の公式 $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ を用いると、

$d = \sqrt{(\frac{2 - \sqrt{14}}{2} - \frac{2 + \sqrt{14}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{14}}{2} - \frac{-\sqrt{14}}{2})^2}$

$d = \sqrt{(\frac{-2\sqrt{14}}{2})^2 + (\frac{2\sqrt{14}}{2})^2} = \sqrt{(-\sqrt{14})^2 + (\sqrt{14})^2} = \sqrt{14 + 14} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{7}$