3点A, B, Cを頂点とする三角形について、$\angle A$を公式1.4を使って求めよ。 (1) A(2, -1, 1), B(3, 0, -3), C(1, 1, -1) (2) A(-1, 3, 0), B(1, 0, 1), C(2, 2, -2)

1. 問題の内容

3点A, B, Cを頂点とする三角形について、$\angle A$を公式1.4を使って求めよ。

(1) A(2, -1, 1), B(3, 0, -3), C(1, 1, -1)

(2) A(-1, 3, 0), B(1, 0, 1), C(2, 2, -2)

2. 解き方の手順

公式1.4は、おそらく内積の公式 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ を指していると思われる。この公式を利用して、$\cos \theta$ を求め、そこから $\theta$ を求める。

(1)

まず、ベクトル$\vec{AB}$と$\vec{AC}$を計算する。

$\vec{AB} = B - A = (3-2, 0-(-1), -3-1) = (1, 1, -4)$

$\vec{AC} = C - A = (1-2, 1-(-1), -1-1) = (-1, 2, -2)$

次に、$\vec{AB}$と$\vec{AC}$の内積を計算する。

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (1)(-1) + (1)(2) + (-4)(-2) = -1 + 2 + 8 = 9$

次に、$\vec{AB}$と$\vec{AC}$の大きさを計算する。

$|\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 1 + 16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

$|\vec{AC}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$

内積の公式 $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| |\vec{AC}| \cos A$ より、

$9 = (3\sqrt{2})(3) \cos A$

$\cos A = \frac{9}{9\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

したがって、$A = \frac{\pi}{4}$ (45度)

(2)

まず、ベクトル$\vec{AB}$と$\vec{AC}$を計算する。

$\vec{AB} = B - A = (1-(-1), 0-3, 1-0) = (2, -3, 1)$

$\vec{AC} = C - A = (2-(-1), 2-3, -2-0) = (3, -1, -2)$

次に、$\vec{AB}$と$\vec{AC}$の内積を計算する。

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (2)(3) + (-3)(-1) + (1)(-2) = 6 + 3 - 2 = 7$

次に、$\vec{AB}$と$\vec{AC}$の大きさを計算する。

$|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$

$|\vec{AC}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14}$

内積の公式 $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| |\vec{AC}| \cos A$ より、

$7 = (\sqrt{14})(\sqrt{14}) \cos A$

$7 = 14 \cos A$

$\cos A = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$

したがって、$A = \frac{\pi}{3}$ (60度)

3. 最終的な答え

(1) $\angle A = \frac{\pi}{4}$ (45度)

(2) $\angle A = \frac{\pi}{3}$ (60度)