一辺の長さが $a$ の正六角形 ABCDEF があるとき、ベクトル $\overrightarrow{AE}$ とベクトル $\overrightarrow{AF}$ の内積 $\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AF}$ を求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが $a$ の正六角形 ABCDEF があるとき、ベクトル $\overrightarrow{AE}$ とベクトル $\overrightarrow{AF}$ の内積 $\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AF}$ を求める。

2. 解き方の手順

$\overrightarrow{AE}$ と $\overrightarrow{AF}$ の内積を求めるために、内積の定義式 $\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AF} = |\overrightarrow{AE}| |\overrightarrow{AF}| \cos{\theta}$ を利用する。ここで $\theta$ は $\overrightarrow{AE}$ と $\overrightarrow{AF}$ のなす角である。

まず $|\overrightarrow{AE}|$ を求める。正六角形 ABCDEF の中心をOとすると、$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OE} = 2\overrightarrow{AO}$ である。また $|\overrightarrow{AO}| = a$ なので、 $|\overrightarrow{AE}| = 2|\overrightarrow{AO}| = 2a$ となる。

次に $|\overrightarrow{AF}|$ を求める。$\overrightarrow{AF}$ は正六角形の隣り合う頂点を結ぶベクトルなので、 $|\overrightarrow{AF}| = a$ である。

最後に $\overrightarrow{AE}$ と $\overrightarrow{AF}$ のなす角 $\theta$ を求める。正六角形の中心角は $360^{\circ}/6 = 60^{\circ}$ である。

$\angle EAF = 30^{\circ}$ なので、 $\theta = 30^{\circ}$ である。したがって、 $\cos{\theta} = \cos{30^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ である。

以上より、

\begin{align*}

\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AF} &= |\overrightarrow{AE}| |\overrightarrow{AF}| \cos{30^{\circ}} \\

&= (2a)(a) \frac{\sqrt{3}}{2} \\

&= \sqrt{3} a^2

\end{align*}

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AF} = \sqrt{3}a^2$