(1) 中心が直線 $y=x$ 上にあり、直線 $3x+4y=24$ と両座標軸に接する円の方程式を求める問題です。 (2) 円 $x^2+2x+y^2-2y+1=0$ に接し、傾きが $-1$ の直線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

(1) 中心が直線 $y=x$ 上にあり、直線 $3x+4y=24$ と両座標軸に接する円の方程式を求める問題です。

(2) 円 $x^2+2x+y^2-2y+1=0$ に接し、傾きが $-1$ の直線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1)

両座標軸に接する円の中心は $(r, r)$ と表せる。中心が直線 $y=x$ 上にあるので、中心の座標は $(r, r)$ とおくことができる。

この円が直線 $3x+4y=24$ に接するので、円の中心 $(r, r)$ と直線 $3x+4y=24$ の距離は円の半径 $r$ に等しい。

点と直線の距離の公式より、

$\frac{|3r+4r-24|}{\sqrt{3^2+4^2}} = r$

$\frac{|7r-24|}{5} = r$

$|7r-24| = 5r$

$7r-24 = \pm 5r$

i) $7r-24 = 5r$ のとき

$2r = 24$

$r = 12$

ii) $7r-24 = -5r$ のとき

$12r = 24$

$r = 2$

したがって、円の方程式は

$(x-12)^2 + (y-12)^2 = 12^2$

$(x-2)^2 + (y-2)^2 = 2^2$

(2)

円 $x^2+2x+y^2-2y+1=0$ を変形すると、

$(x+1)^2 + (y-1)^2 = 1$

これは、中心 $(-1, 1)$、半径 $1$ の円を表す。

傾きが $-1$ の直線を $y = -x + k$ とおく。

この直線と円が接するので、中心 $(-1, 1)$ と直線 $x+y-k=0$ の距離は円の半径 $1$ に等しい。

点と直線の距離の公式より、

$\frac{|-1+1-k|}{\sqrt{1^2+1^2}} = 1$

$\frac{|-k|}{\sqrt{2}} = 1$

$|k| = \sqrt{2}$

$k = \pm \sqrt{2}$

したがって、直線の方程式は

$y = -x \pm \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $(x-12)^2 + (y-12)^2 = 144$, $(x-2)^2 + (y-2)^2 = 4$

(2) $y = -x + \sqrt{2}$, $y = -x - \sqrt{2}$