$\triangle ABC$ において、点 $A$ から辺 $BC$ に垂線 $AH$ を下ろす。線分 $AH$ を直径とする円 $O$ と辺 $AB$, $AC$ の交点をそれぞれ $D$, $E$ とし、円 $O$ の半径を $1$, $BH = 1$, $CE = 3$ とする。 (1) 線分 $DB$ の長さを求めよ。 (2) 線分 $HC$ と線分 $CA$ の長さをそれぞれ求めよ。 (3) $\angle EDH$ の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、点 $A$ から辺 $BC$ に垂線 $AH$ を下ろす。線分 $AH$ を直径とする円 $O$ と辺 $AB$, $AC$ の交点をそれぞれ $D$, $E$ とし、円 $O$ の半径を $1$, $BH = 1$, $CE = 3$ とする。

(1) 線分 $DB$ の長さを求めよ。

(2) 線分 $HC$ と線分 $CA$ の長さをそれぞれ求めよ。

(3) $\angle EDH$ の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 線分 $DB$ の長さを求める。

$AH$ は円 $O$ の直径なので、$\angle ADH = 90^\circ$。したがって、$\triangle ADH$ は直角三角形。

$\triangle ADH$ と $\triangle ABH$ は $\angle AHD = \angle AHB = 90^\circ$ であり、$\angle DAH = \angle BAH$（共通）であるから、$\triangle ADH \sim \triangle ABH$ である。

よって、

$\frac{AH}{AB} = \frac{AD}{AH}$

$AH^2 = AD \cdot AB$

また、$\angle ADB = 90^\circ$ なので、$\triangle ADH$ と $\triangle BDH$ も相似であり、$\angle AHD=90^{\circ}$より、$\triangle ABH$も直角三角形。

三平方の定理より、$AB^2 = AH^2 + BH^2$ 。$AH = 2$ , $BH = 1$ なので、$AB^2 = 2^2 + 1^2 = 5$。$AB = \sqrt{5}$。

$AD \cdot AB = AH^2 = 2^2 = 4$。よって、$AD = \frac{4}{AB} = \frac{4}{\sqrt{5}}$。

したがって、$DB = AB - AD = \sqrt{5} - \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{5-4}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$。

(2) 線分 $HC$ と線分 $CA$ の長さをそれぞれ求める。

$AH$ は円 $O$ の直径なので、$\angle AEH = 90^\circ$。

$\triangle AEH \sim \triangle ACH$ であるから、

$\frac{AH}{AC} = \frac{AE}{AH}$

$AH^2 = AE \cdot AC$

三平方の定理より、$AC^2 = AH^2 + HC^2$。$AH=2$ なので、$AC^2 = 4 + HC^2$。

$\triangle AHE$ と $\triangle CHE$ は相似である。$\angle AEH=\angle AHC=90^{\circ}$より、$\triangle ACH$も直角三角形。

$AC = AE + EC = AE + 3$ より、$AE=AC-3$

$AE \cdot AC = AH^2 = 4$。よって、$(AC-3) \cdot AC = 4$。

$AC^2 - 3AC - 4 = 0$。$(AC-4)(AC+1) = 0$。$AC > 0$ なので、$AC = 4$。

したがって、$HC = \sqrt{AC^2 - AH^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$。

(3) $\angle EDH$ の大きさを求める。

四角形 $ADHE$ は円に内接するので、$\angle EDH = \angle EAH$

$\tan(\angle CAH) = \frac{HC}{AH} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ より、$\angle CAH = 60^\circ$。$\angle EAH = 60^\circ$

$\angle EDH = \angle EAH = 60^\circ$

3. 最終的な答え

(1) $DB = \frac{\sqrt{5}}{5}$

(2) $HC = 2\sqrt{3}$, $CA = 4$

(3) $\angle EDH = 60^\circ$