座標平面上に2点 A(4, 6), B(a, -2) があり、線分 AB の中点が C(1, b) である。点 C を中心とし、点 A を通る円を K とする。 (1) a, b の値を求める。 (2) 円 K の方程式を求め、点 A における円 K の接線 l の方程式を求める。 (3) (2) で定めた接線 l と y 軸の交点を D とし、y 軸に関して点 A と対称な点を E とする。点 P が円 K 上を動くとき、△DEP の面積の最大値と、そのときの点 P の座標を求める。

1. 問題の内容

座標平面上に2点 A(4, 6), B(a, -2) があり、線分 AB の中点が C(1, b) である。点 C を中心とし、点 A を通る円を K とする。

(1) a, b の値を求める。

(2) 円 K の方程式を求め、点 A における円 K の接線 l の方程式を求める。

(3) (2) で定めた接線 l と y 軸の交点を D とし、y 軸に関して点 A と対称な点を E とする。点 P が円 K 上を動くとき、△DEP の面積の最大値と、そのときの点 P の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 線分 AB の中点が C であることから、a と b の値を求める。

- A と B の x 座標の中点は $\frac{4+a}{2}$ であり、これが C の x 座標である 1 に等しい。したがって、

$\frac{4+a}{2} = 1$

- A と B の y 座標の中点は $\frac{6+(-2)}{2}$ であり、これが C の y 座標である b に等しい。したがって、

$\frac{6-2}{2} = b$

(2) 円 K の方程式を求める。中心が C(1, 2) であり、点 A(4, 6) を通ることから、半径 r は

$r = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

したがって、円 K の方程式は

$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 25$

点 A(4, 6) における円 K の接線 l の方程式を求める。中心 C(1, 2) と点 A(4, 6) を結ぶ直線の傾きは、

$m_{CA} = \frac{6-2}{4-1} = \frac{4}{3}$

接線 l の傾きは $m_l = -\frac{1}{m_{CA}} = -\frac{3}{4}$

接線 l は点 A(4, 6) を通るので、その方程式は

$y - 6 = -\frac{3}{4}(x - 4)$

$y = -\frac{3}{4}x + 3 + 6$

$y = -\frac{3}{4}x + 9$

(3) 接線 l の y 軸との交点 D の座標を求める。接線の方程式は $y = -\frac{3}{4}x + 9$ なので、x = 0 のとき y = 9 となり、D(0, 9)。

点 A(4, 6) と y 軸に関して対称な点 E の座標は E(-4, 6)。

△DEP の面積 S は、$S = \frac{1}{2} \cdot DE \cdot h$ で与えられる。

DE の長さは $DE = \sqrt{(0 - (-4))^2 + (9 - 6)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

円 K の中心 C(1, 2) から直線 DE までの距離を d とする。DE の方程式は、E(-4, 6) と D(0, 9) を通る直線なので、傾きは $\frac{9-6}{0-(-4)} = \frac{3}{4}$。方程式は $y = \frac{3}{4}x + 9$ つまり、$3x - 4y + 36 = 0$ 。点 C(1, 2) からこの直線までの距離は

$d = \frac{|3(1) - 4(2) + 36|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|3 - 8 + 36|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{31}{5}$

△DEP の高さ h は、点 P から直線 DE までの距離なので、h = d + r で最大となる。ここで、r は円 K の半径 5。

$h = \frac{31}{5} + 5 = \frac{31 + 25}{5} = \frac{56}{5}$

面積の最大値 $S_{max} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \frac{56}{5} = \frac{56}{2} = 28$

このとき、P は C(1, 2) から DE に下ろした垂線と円 K の交点である。方向ベクトルは (3, -4) で、点 C(1, 2) を通る直線の方程式は $x = 1 + 3t$, $y = 2 - 4t$ 。これが円 K の方程式 $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 25$ を満たすとき、

$(1 + 3t - 1)^2 + (2 - 4t - 2)^2 = 25$

$9t^2 + 16t^2 = 25$

$25t^2 = 25$

$t^2 = 1$

$t = \pm 1$

点 P は C から DE に下ろした垂線上で、C から最も遠い点なので、$t = 1$ を取ると、P(4, -2)。

3. 最終的な答え

(1) a = -2, b = 2

(2) 円 K の方程式: $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 25$, 接線 l の方程式: $y = -\frac{3}{4}x + 9$

(3) △DEP の面積の最大値: 28, そのときの点 P の座標: (4, -2)