一辺の長さが $a$ の正六角形 ABCDEF について、ベクトル $\vec{AE}$ と $\vec{AF}$ の内積 $\vec{AE} \cdot \vec{AF}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

一辺の長さが $a$ の正六角形 ABCDEF について、ベクトル $\vec{AE}$ と $\vec{AF}$ の内積 $\vec{AE} \cdot \vec{AF}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

正六角形の中心をOとします。

$\vec{AE} = \vec{AO} + \vec{OE}$

$\vec{AF} = \vec{AO} + \vec{OF}$

$\vec{AE} \cdot \vec{AF} = (\vec{AO} + \vec{OE}) \cdot (\vec{AO} + \vec{OF})$

$= \vec{AO} \cdot \vec{AO} + \vec{AO} \cdot \vec{OF} + \vec{OE} \cdot \vec{AO} + \vec{OE} \cdot \vec{OF}$

$= |\vec{AO}|^2 + \vec{AO} \cdot \vec{OF} + \vec{OE} \cdot \vec{AO} + \vec{OE} \cdot \vec{OF}$

$|\vec{AO}| = a$ であるので、 $|\vec{AO}|^2 = a^2$

$\vec{AO} \cdot \vec{OF}$ は $\vec{AO}$ と $\vec{OF}$ のなす角が $120^{\circ}$ であるので

$\vec{AO} \cdot \vec{OF} = |\vec{AO}| |\vec{OF}| \cos{120^{\circ}} = a \cdot a \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}a^2$

$\vec{OE} \cdot \vec{AO}$ は $\vec{OE}$ と $\vec{AO}$ のなす角が $120^{\circ}$ であるので

$\vec{OE} \cdot \vec{AO} = |\vec{OE}| |\vec{AO}| \cos{120^{\circ}} = a \cdot a \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}a^2$

$\vec{OE} \cdot \vec{OF}$ は $\vec{OE}$ と $\vec{OF}$ のなす角が $60^{\circ}$ であるので

$\vec{OE} \cdot \vec{OF} = |\vec{OE}| |\vec{OF}| \cos{60^{\circ}} = a \cdot a \cdot (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}a^2$

したがって

$\vec{AE} \cdot \vec{AF} = a^2 - \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}a^2 = \frac{1}{2}a^2$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}a^2$