$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$のとき、$\tan \theta = -\frac{3}{4}$である。$\sin \theta$と$\cos \theta$の値を求めよ。

1. 問題の内容

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$のとき、$\tan \theta = -\frac{3}{4}$である。$\sin \theta$と$\cos \theta$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$の関係を利用する。また、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$の恒等式を利用する。

$\tan \theta = -\frac{3}{4}$より、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$の範囲で$\tan \theta$が負であることから、$90^\circ < \theta < 180^\circ$である。したがって、$\sin \theta > 0$、$\cos \theta < 0$である。

$\tan^2 \theta + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$という関係式を用いる。

$\tan \theta = -\frac{3}{4}$を代入すると、

$(-\frac{3}{4})^2 + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$\frac{9}{16} + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$\frac{25}{16} = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$\cos^2 \theta = \frac{16}{25}$

$\cos \theta = \pm \frac{4}{5}$

$90^\circ < \theta < 180^\circ$であるから、$\cos \theta < 0$なので、

$\cos \theta = -\frac{4}{5}$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$より、

$\sin \theta = \tan \theta \cos \theta = (-\frac{3}{4})(-\frac{4}{5}) = \frac{3}{5}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = \frac{3}{5}$

$\cos \theta = -\frac{4}{5}$