右の図のように、同じ大きさの円を正三角形の形に並べます。 (1) 1辺の個数が100個のとき、円の数は全部でいくつになるか求めなさい。 (2) 1辺の個数が $n$ 個のとき、円の全部の個数を表すものとして、$3(n-2)+3$ という式を考えました。この式がどのような考えでできた式か説明しなさい。

1. 問題の内容

右の図のように、同じ大きさの円を正三角形の形に並べます。

(1) 1辺の個数が100個のとき、円の数は全部でいくつになるか求めなさい。

(2) 1辺の個数が $n$ 個のとき、円の全部の個数を表すものとして、$3(n-2)+3$ という式を考えました。この式がどのような考えでできた式か説明しなさい。

2. 解き方の手順

(1) 1辺の個数が $n$ 個のとき、円の総数を $S_n$ とします。

$n=1$ のとき、$S_1 = 1$

$n=2$ のとき、$S_2 = 1+2 = 3$

$n=3$ のとき、$S_3 = 1+2+3 = 6$

$n=4$ のとき、$S_4 = 1+2+3+4 = 10$

一般に、

$S_n = 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$

したがって、1辺の個数が100個のとき、円の総数は

$S_{100} = \frac{100(100+1)}{2} = \frac{100 \times 101}{2} = 50 \times 101 = 5050$

(2) 1辺の個数が $n$ 個の正三角形から1辺減らした正三角形を考えます。すると、1辺が $n-2$ 個の正三角形３つと、頂点の円３つに分解できます。つまり、3つの三角形のそれぞれの個数が $n-2$ であり、最後に余った頂点に並んだ円の数が3つあると考えます。

しかし、これでは中心の三角形の３つの頂点が抜けていることになります。頂点にあるそれぞれの円は１つとして数える必要があります。

別の考え方としては、

$3(n-2)+3 = 3n - 6 + 3 = 3n-3$

これは、正三角形の3辺にそれぞれ $n$ 個の円が並んでいると考えたとき、重複して数えている角の円を引くことで求められます。

3辺にある円の個数は $3n$ 個です。しかし、3つの角にある円は重複して数えているので、角の円の数だけ引く必要があります。3つの角にある円を2回ずつ引くことで、円の総数が求められます。角にある円は3つなので、 $3n-3$ となります。

3. 最終的な答え

(1) 5050個

(2) 正三角形の3辺にそれぞれ $n$ 個の円が並んでいると考えたとき、重複して数えている角の円を引くことで求められる。3つの角の円を2回ずつ引くことで $3n-3$ となります。