$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\sin \theta = \frac{2}{3}$ を満たす $\theta$ に対して、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\sin \theta = \frac{2}{3}$ を満たす $\theta$ に対して、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、三角比の相互関係の公式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用して、$\cos \theta$ の値を求めます。

$\sin \theta = \frac{2}{3}$ を代入すると、

$$\left( \frac{2}{3} \right)^2 + \cos^2 \theta = 1$$

$$\frac{4}{9} + \cos^2 \theta = 1$$

$$\cos^2 \theta = 1 - \frac{4}{9}$$

$$\cos^2 \theta = \frac{5}{9}$$

したがって、$\cos \theta = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$ となります。

ここで、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ という条件から、$\sin \theta$ は常に正または0です。しかし、$\cos \theta$ は、

$0^\circ \le \theta < 90^\circ$ のとき正、

$\theta = 90^\circ$ のとき0、

$90^\circ < \theta \le 180^\circ$ のとき負となります。

問題文より $\sin \theta = \frac{2}{3} > 0$ なので、$\theta$ は $0^\circ < \theta < 180^\circ$ を満たします。

したがって、$\cos \theta$ の値は正と負の両方の場合がありえます。

$\sin \theta = \frac{2}{3} > 0$ なので $\theta$ は鋭角または鈍角です。$\theta$ の範囲より、$\cos \theta$ の符号が確定しません。問題文に条件が不足しているため、2つの場合を考えます。

(i) $\theta$ が鋭角のとき、$\cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$ です。

このとき、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{2/3}{\sqrt{5}/3} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$ となります。

(ii) $\theta$ が鈍角のとき、$\cos \theta = -\frac{\sqrt{5}}{3}$ です。

このとき、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{2/3}{-\sqrt{5}/3} = -\frac{2}{\sqrt{5}} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$ となります。

3. 最終的な答え

$\cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$ のとき、$\tan \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

$\cos \theta = -\frac{\sqrt{5}}{3}$ のとき、$\tan \theta = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$