半径1cm、中心角90°のおうぎ形OABがある。 (1) おうぎ形OABを点Bを中心に時計回りに回転させ、点Oがアの位置にあったおうぎ形OABの弦AB上にくるまで回転させたとき、半径OBの動いた部分（図1の斜線部分）の面積を求める。 (2) おうぎ形OABを直線l上を滑らないように回転させながら、アの位置からイの位置まで移動させる。このとき、点Oが描いた線全体の長さを求める。

1. 問題の内容

半径1cm、中心角90°のおうぎ形OABがある。

(1) おうぎ形OABを点Bを中心に時計回りに回転させ、点Oがアの位置にあったおうぎ形OABの弦AB上にくるまで回転させたとき、半径OBの動いた部分（図1の斜線部分）の面積を求める。

(2) おうぎ形OABを直線l上を滑らないように回転させながら、アの位置からイの位置まで移動させる。このとき、点Oが描いた線全体の長さを求める。

2. 解き方の手順

(1)

斜線部分の面積は、半径がOBの長さで、中心角が45度の扇形の面積である。OB = 1cmであり、扇形の面積は、$半径 \times 半径 \times \pi \times \frac{中心角}{360}$で求められるので、

$1 \times 1 \times \pi \times \frac{45}{360} = \frac{\pi}{8}$

よって、斜線部分の面積は$\frac{\pi}{8} cm^2$である。

(2)

点Oの軌跡は、2つの弧と1つの直線で構成される。

最初の弧は、点Bを中心にOAを半径とする90°の扇形の弧である。この弧の長さは、$2 \times \pi \times 1 \times \frac{90}{360} = \frac{\pi}{2}$。

次の弧は、点Aを中心にAOを半径とする90°の扇形の弧である。この弧の長さは、$2 \times \pi \times 1 \times \frac{90}{360} = \frac{\pi}{2}$。

最後に、点Bから点Aまで直線で移動する。この距離は扇形の半径に等しく、1cmである。

したがって、点Oが描いた線全体の長さは、$\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} + 1 = \pi + 1$。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{8} cm^2$

(2) $(\pi + 1) cm$