$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲で、$\tan \theta = \frac{4}{3}$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲で、$\tan \theta = \frac{4}{3}$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ であることを利用します。

$\tan^2 \theta + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ の関係式を利用します。

与えられた$\tan \theta = \frac{4}{3}$ を代入します。

$(\frac{4}{3})^2 + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$\frac{16}{9} + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$\frac{25}{9} = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$\cos^2 \theta = \frac{9}{25}$

したがって、$\cos \theta = \pm \frac{3}{5}$となります。

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲で $\tan \theta = \frac{4}{3} > 0$ なので、$0^\circ < \theta < 90^\circ$ であることがわかります。

よって、$\cos \theta > 0$ であるため、

$\cos \theta = \frac{3}{5}$

次に、$\sin \theta$ を求めます。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ なので、$\sin \theta = \tan \theta \cdot \cos \theta$

$\sin \theta = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{4}{5}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = \frac{4}{5}$

$\cos \theta = \frac{3}{5}$