$\theta$ が第3象限の角であり、$\cos \theta = -\frac{4}{5}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\theta$ が第3象限の角であり、$\cos \theta = -\frac{4}{5}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の基本関係式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を用いて $\sin \theta$ を求める。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$

$\cos \theta = -\frac{4}{5}$ を代入して、

$\sin^2 \theta = 1 - \left(-\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25 - 16}{25} = \frac{9}{25}$

$\sin \theta = \pm \sqrt{\frac{9}{25}} = \pm \frac{3}{5}$

$\theta$ は第3象限の角であるため、$\sin \theta$ は負の値をとる。

したがって、$\sin \theta = -\frac{3}{5}$

次に、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を用いて $\tan \theta$ を求める。

$\tan \theta = \frac{-\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = \frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = -\frac{3}{5}$

$\tan \theta = \frac{3}{4}$