AB = ACの鋭角二等辺三角形ABCがあり、その外接円の半径は5である。頂点Bから辺ACに下ろした垂線をBHとすると、AH:CH = 3:2である。このとき、cosAの値、BCの長さ、BHの長さ、三角形ABCの面積、外接円の中心Oから辺ACに下ろした垂線OKの長さ、線分OCと線分BHの交点をDとしたときのDHの長さを求める。

1. 問題の内容

AB = ACの鋭角二等辺三角形ABCがあり、その外接円の半径は5である。頂点Bから辺ACに下ろした垂線をBHとすると、AH:CH = 3:2である。このとき、cosAの値、BCの長さ、BHの長さ、三角形ABCの面積、外接円の中心Oから辺ACに下ろした垂線OKの長さ、線分OCと線分BHの交点をDとしたときのDHの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1)

AH:CH = 3:2より、AH = 3x, CH = 2xとおける。AC = AH + CH = 5x。

cosA = AH/AB = 3x/AB。三角形ABCの外接円の半径Rは5なので、正弦定理より、BC/sinA = 2R = 10。

ここで、sinA = BH/AB。また、BC = a, AC = b, AB = cとおくと、余弦定理より、$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cosA$。

$BC^2 = AC^2 + AB^2 - 2 * AC * AB * cosA$。

$BC^2 = (5x)^2 + AB^2 - 2 * 5x * AB * (3x/AB)$

$BC^2 = 25x^2 + AB^2 - 30x^2 = AB^2 - 5x^2$

$BC/sinA = 10$より、$BC = 10sinA$。$BC = 10BH/AB$。

ここで、AC = ABなので、AC = 5x = AB。

すると、$cosA = 3x/AB = 3x/(5x) = 3/5$。

$BC^2 = (5x)^2 - 5x^2 = 20x^2$

$BC = \sqrt{20x^2} = 2\sqrt{5}x$

$BC/sinA = 10$より、$BC = 10sinA$。

$BC = 10 * BH/AB$。$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{(5x)^2 - (3x)^2} = \sqrt{16x^2} = 4x$

$BC = 10 * 4x/(5x) = 8$。

(2)

$BH = 4x$。$x = BC/(2\sqrt{5}) = 8/(2\sqrt{5}) = 4/\sqrt{5}$。

$BH = 4x = 4*(4/\sqrt{5}) = 16/\sqrt{5} = 16\sqrt{5}/5$。

三角形ABCの面積 = 1/2 * AC * BH = 1/2 * 5x * 4x = 10x^2 = 10 * (4/$\sqrt{5}$)^2 = 10 * 16/5 = 32。

(3)

OKはACの中点Kを通る。AK = AC/2 = 5x/2 = (5/2)(4/$\sqrt{5}$) = $2\sqrt{5}$。

三角形AOKは直角三角形なので、$OK = \sqrt{AO^2 - AK^2} = \sqrt{5^2 - (2\sqrt{5})^2} = \sqrt{25 - 20} = \sqrt{5}$。

OからACに下ろした垂線の足KはACの中点なので、AC=8よりKC = 4である。したがってAH=6でHC=

2.

3. 最終的な答え

13: 3/5

14: 8

15: $16\sqrt{5}/5$

16: 32

17: $\sqrt{5}$

18: $4\sqrt{5}/5$