空間内の3点 $A(1,4,2)$, $B(3,-2,0)$, $C(2,1,3)$ を通る平面の方程式を求めます。

1. 問題の内容

空間内の3点 $A(1,4,2)$, $B(3,-2,0)$, $C(2,1,3)$ を通る平面の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

まず、平面上の2つのベクトルを求めます。例えば、$\vec{AB}$と$\vec{AC}$です。

$\vec{AB} = B - A = (3-1, -2-4, 0-2) = (2, -6, -2)$

$\vec{AC} = C - A = (2-1, 1-4, 3-2) = (1, -3, 1)$

次に、これらのベクトルに垂直な法線ベクトル $\vec{n}$ を求めます。これは、$\vec{AB}$と$\vec{AC}$の外積を取ることで得られます。

$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -6 & -2 \\ 1 & -3 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}((-6)(1) - (-2)(-3)) - \vec{j}((2)(1) - (-2)(1)) + \vec{k}((2)(-3) - (-6)(1)) = \vec{i}(-6-6) - \vec{j}(2+2) + \vec{k}(-6+6) = -12\vec{i} - 4\vec{j} + 0\vec{k} = (-12, -4, 0)$

法線ベクトル $\vec{n}$ が $(-12, -4, 0)$ であることがわかりました。このベクトルを簡略化するために、$-4$ で割ることができます。簡略化された法線ベクトルは $\vec{n'} = (3, 1, 0)$ となります。

平面の方程式は、法線ベクトル $\vec{n'} = (3, 1, 0)$ と平面上の点（例えば $A(1,4,2)$）を用いて、次のように表すことができます。

$3(x-1) + 1(y-4) + 0(z-2) = 0$

$3x - 3 + y - 4 = 0$

$3x + y - 7 = 0$

3. 最終的な答え

$3x + y - 7 = 0$