$\theta$が第3象限の角で、$\sin \theta = -\frac{3}{4}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

$\theta$が第3象限の角で、$\sin \theta = -\frac{3}{4}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の相互関係である $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を用いて、$\cos \theta$ の値を求めます。

$\sin \theta = -\frac{3}{4}$ を代入すると、

$(-\frac{3}{4})^2 + \cos^2 \theta = 1$

$\frac{9}{16} + \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = 1 - \frac{9}{16}$

$\cos^2 \theta = \frac{16}{16} - \frac{9}{16}$

$\cos^2 \theta = \frac{7}{16}$

$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{7}{16}}$

$\cos \theta = \pm \frac{\sqrt{7}}{4}$

$\theta$ は第3象限の角なので、$\cos \theta$ は負の値をとります。したがって、

$\cos \theta = -\frac{\sqrt{7}}{4}$

次に、$\tan \theta$ の値を求めます。$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ の関係式を用います。

$\tan \theta = \frac{-\frac{3}{4}}{-\frac{\sqrt{7}}{4}}$

$\tan \theta = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{7}}$

$\tan \theta = \frac{3}{\sqrt{7}}$

分母を有理化すると、

$\tan \theta = \frac{3\sqrt{7}}{7}$

3. 最終的な答え

$\cos \theta = -\frac{\sqrt{7}}{4}$

$\tan \theta = \frac{3\sqrt{7}}{7}$