$\cos \theta = \frac{1}{5}$ $(0^{\circ} < \theta < 180^{\circ})$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\cos \theta = \frac{1}{5}$ $(0^{\circ} < \theta < 180^{\circ})$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

三角比の相互関係を利用します。

まず、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を用いて $\sin \theta$ を求めます。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ に $\cos \theta = \frac{1}{5}$ を代入すると、

$\sin^2 \theta + (\frac{1}{5})^2 = 1$

$\sin^2 \theta + \frac{1}{25} = 1$

$\sin^2 \theta = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}$

$0^{\circ} < \theta < 180^{\circ}$ より、$\sin \theta > 0$ であるため、

$\sin \theta = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{\sqrt{24}}{5} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

次に、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を用いて $\tan \theta$ を求めます。

$\tan \theta = \frac{\frac{2\sqrt{6}}{5}}{\frac{1}{5}} = \frac{2\sqrt{6}}{5} \times \frac{5}{1} = 2\sqrt{6}$

$0^{\circ} < \theta < 180^{\circ}$ かつ $\cos \theta = \frac{1}{5}>0$ であるから、$0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$。したがって $\tan \theta > 0$。

$\tan \theta = 2\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

$\tan \theta = 2\sqrt{6}$