点P(2, 1)を通り、円 $x^2 + y^2 = 1$ に接する直線の方程式を求めます。

1. 問題の内容

点P(2, 1)を通り、円 $x^2 + y^2 = 1$ に接する直線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 点P(2, 1)を通る直線の式を $y - 1 = m(x - 2)$ とおく。これを変形して、$mx - y - 2m + 1 = 0$ とする。

(2) 直線が円 $x^2 + y^2 = 1$ に接するための条件は、円の中心(0, 0)と直線との距離が円の半径1に等しいことである。点と直線の距離の公式より、

$\frac{|m(0) - (0) - 2m + 1|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 1$

これを整理すると、

$|-2m + 1| = \sqrt{m^2 + 1}$

両辺を2乗して、

$(-2m + 1)^2 = m^2 + 1$

$4m^2 - 4m + 1 = m^2 + 1$

$3m^2 - 4m = 0$

$m(3m - 4) = 0$

よって、$m = 0, \frac{4}{3}$

(3) $m = 0$ のとき、直線の方程式は $y - 1 = 0(x - 2)$ より $y = 1$。

(4) $m = \frac{4}{3}$ のとき、直線の方程式は $y - 1 = \frac{4}{3}(x - 2)$ より $3y - 3 = 4x - 8$ となり、$4x - 3y - 5 = 0$。

(5) また、点(2,1)を通る直線がx軸に垂直な場合を考える。この時、直線の方程式は $x=2$ となる。この直線と円 $x^2+y^2=1$ の距離は2であり、半径1より大きいので、この直線は円に接しない。

3. 最終的な答え

求める直線の方程式は $y = 1$ と $4x - 3y - 5 = 0$ である。