点 $P(2, 1)$ を通り、円 $x^2 + y^2 = 1$ に接する直線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

点 $P(2, 1)$ を通り、円 $x^2 + y^2 = 1$ に接する直線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 求める直線の方程式を $y = m(x - 2) + 1$ とおく。これは点 $P(2, 1)$ を通る傾き $m$ の直線を表します。変形すると、

$y = mx - 2m + 1$

$mx - y - 2m + 1 = 0$

(2) 円 $x^2 + y^2 = 1$ の中心 $(0, 0)$ と直線 $mx - y - 2m + 1 = 0$ の距離が、円の半径 1 に等しいという条件を利用します。点と直線の距離の公式から、

$\frac{|m(0) - (0) - 2m + 1|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 1$

$\frac{|-2m + 1|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 1$

(3) 絶対値をはずすために両辺を2乗する。

$(-2m + 1)^2 = m^2 + 1$

$4m^2 - 4m + 1 = m^2 + 1$

$3m^2 - 4m = 0$

$m(3m - 4) = 0$

$m = 0$ または $m = \frac{4}{3}$

(4) $m = 0$ のとき、直線の方程式は $y = 0(x - 2) + 1$ より $y = 1$ となります。

(5) $m = \frac{4}{3}$ のとき、直線の方程式は $y = \frac{4}{3}(x - 2) + 1$ となります。これを整理すると、

$y = \frac{4}{3}x - \frac{8}{3} + 1$

$y = \frac{4}{3}x - \frac{5}{3}$

$3y = 4x - 5$

$4x - 3y - 5 = 0$

(6) 最後に、直線 $x=2$が円に接するかどうか確認する。

直線 $x=2$ と円 $x^2+y^2=1$ を連立すると、

$2^2+y^2=1$

$y^2= -3$

$y$ は虚数となるので、 $x=2$ は円に接しない。

よって、直線 $x=2$ は解ではない。

3. 最終的な答え

$y = 1$

$4x - 3y - 5 = 0$