$\sin \theta = \frac{3}{7}$ ($0^\circ \le \theta \le 180^\circ$) のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\sin \theta = \frac{3}{7}$ ($0^\circ \le \theta \le 180^\circ$) のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、三角比の相互関係 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用して、$\cos \theta$ を求めます。

$\sin \theta = \frac{3}{7}$ を代入すると、

$(\frac{3}{7})^2 + \cos^2 \theta = 1$

$\frac{9}{49} + \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = 1 - \frac{9}{49} = \frac{49-9}{49} = \frac{40}{49}$

$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{40}{49}} = \pm \frac{\sqrt{40}}{7} = \pm \frac{2\sqrt{10}}{7}$

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲では、$\sin \theta$ は常に正なので、$\theta$ は第1象限または第2象限の角です。

第1象限の場合、$\cos \theta > 0$ であり、第2象限の場合、$\cos \theta < 0$ です。

問題文では$\sin \theta = \frac{3}{7} > 0$ と与えられているため、$\theta$ は第1象限または第2象限の角である可能性があり、$\cos \theta$ は正と負の両方の値を取り得ます。

$\cos \theta = \pm \frac{2\sqrt{10}}{7}$ を求めたので、次は $\tan \theta$ を求めます。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ より、

$\cos \theta = \frac{2\sqrt{10}}{7}$ のとき、

$\tan \theta = \frac{\frac{3}{7}}{\frac{2\sqrt{10}}{7}} = \frac{3}{7} \times \frac{7}{2\sqrt{10}} = \frac{3}{2\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{20}$

$\cos \theta = -\frac{2\sqrt{10}}{7}$ のとき、

$\tan \theta = \frac{\frac{3}{7}}{-\frac{2\sqrt{10}}{7}} = \frac{3}{7} \times (-\frac{7}{2\sqrt{10}}) = -\frac{3}{2\sqrt{10}} = -\frac{3\sqrt{10}}{20}$

したがって、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ で $\sin \theta = \frac{3}{7}$ のとき、$\cos \theta = \frac{2\sqrt{10}}{7}$ であれば $\tan \theta = \frac{3\sqrt{10}}{20}$ 、$\cos \theta = -\frac{2\sqrt{10}}{7}$ であれば $\tan \theta = -\frac{3\sqrt{10}}{20}$ となります。

3. 最終的な答え

$\cos \theta = \frac{2\sqrt{10}}{7}$ のとき、$\tan \theta = \frac{3\sqrt{10}}{20}$

$\cos \theta = -\frac{2\sqrt{10}}{7}$ のとき、$\tan \theta = -\frac{3\sqrt{10}}{20}$