座標平面上の3点 O, P, Q が正三角形を成している。Oの座標が $(0, 0)$, Pの座標が $(2, 2)$ であるとき、点 Q の座標を求める。ヒントは回転である。

1. 問題の内容

座標平面上の3点 O, P, Q が正三角形を成している。Oの座標が $(0, 0)$, Pの座標が $(2, 2)$ であるとき、点 Q の座標を求める。ヒントは回転である。

2. 解き方の手順

正三角形なので、線分OPを原点Oを中心に60度回転させた点をQと考えるか、-60度回転させた点をQと考えるかの2通りがある。

まず、OPベクトルを60度回転させることを考える。

OPベクトルは $\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix}$ である。

回転行列は、角度 $\theta$ に対して、

$\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$

となる。今回は $\theta = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$ なので、$\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$、$\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ であるから、

$\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$

この回転行列をOPベクトルに掛ける。

$\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1-\sqrt{3} \\ \sqrt{3}+1 \end{bmatrix}$

よって、Qの座標は $(1-\sqrt{3}, 1+\sqrt{3})$

次に、OPベクトルを-60度回転させることを考える。

$\theta = -60^\circ = -\frac{\pi}{3}$ なので、$\cos(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$、$\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ であるから、

$\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$

この回転行列をOPベクトルに掛ける。

$\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+\sqrt{3} \\ 1-\sqrt{3} \end{bmatrix}$

よって、Qの座標は $(1+\sqrt{3}, 1-\sqrt{3})$

3. 最終的な答え

Qの座標は $(1-\sqrt{3}, 1+\sqrt{3})$ または $(1+\sqrt{3}, 1-\sqrt{3})$