(1) 方程式 $x^2 + y^2 - 2x + 6y - 6 = 0$ はどんな図形を表すか。 (2) 方程式 $x^2 + y^2 - 4ax + 6ay + 14a^2 - 4a + 3 = 0$ が円を表すとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 方程式 $x^2 + y^2 - 2x + 6y - 6 = 0$ はどんな図形を表すか。

(2) 方程式 $x^2 + y^2 - 4ax + 6ay + 14a^2 - 4a + 3 = 0$ が円を表すとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 与えられた方程式を平方完成する。

$x^2 - 2x + y^2 + 6y - 6 = 0$

$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 6y + 9) - 1 - 9 - 6 = 0$

$(x-1)^2 + (y+3)^2 = 16$

この式は、中心 $(1, -3)$、半径 $4$ の円を表す。

(2) 与えられた方程式を平方完成する。

$x^2 - 4ax + y^2 + 6ay + 14a^2 - 4a + 3 = 0$

$(x^2 - 4ax + 4a^2) + (y^2 + 6ay + 9a^2) - 4a^2 - 9a^2 + 14a^2 - 4a + 3 = 0$

$(x - 2a)^2 + (y + 3a)^2 = -a^2 + 4a - 3$

この式が円を表すためには、右辺が正である必要がある。

$-a^2 + 4a - 3 > 0$

$a^2 - 4a + 3 < 0$

$(a-1)(a-3) < 0$

$1 < a < 3$

3. 最終的な答え

(1) 中心 $(1, -3)$, 半径 $4$ の円

(2) $1 < a < 3$