以下の3つの条件を満たす円の方程式をそれぞれ求めます。 (1) 中心が(3, -2), 半径が4 (2) 点(0, 3)を中心とし、点(-1, 6)を通る (3) 2点(-3, -4), (5, 8)を直径の両端とする

1. 問題の内容

以下の3つの条件を満たす円の方程式をそれぞれ求めます。

(1) 中心が(3, -2), 半径が4

(2) 点(0, 3)を中心とし、点(-1, 6)を通る

(3) 2点(-3, -4), (5, 8)を直径の両端とする

2. 解き方の手順

(1) 円の中心が(a, b), 半径がrである円の方程式は、

$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$

で与えられます。この問題では、中心が(3, -2), 半径が4なので、

$(x-3)^2 + (y+2)^2 = 4^2$

$(x-3)^2 + (y+2)^2 = 16$

となります。

(2) 円の中心が(0, 3)で、点(-1, 6)を通る円の方程式を求めます。

まず、円の半径を求めます。半径は、中心(0, 3)と点(-1, 6)の距離に等しいので、

$r = \sqrt{(-1-0)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (3)^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}$

となります。

円の方程式は、中心(0, 3), 半径$\sqrt{10}$を用いて、

$(x-0)^2 + (y-3)^2 = (\sqrt{10})^2$

$x^2 + (y-3)^2 = 10$

となります。

(3) 2点(-3, -4), (5, 8)を直径の両端とする円の方程式を求めます。

まず、円の中心を求めます。中心は、直径の両端の中点なので、

$\left(\frac{-3+5}{2}, \frac{-4+8}{2}\right) = \left(\frac{2}{2}, \frac{4}{2}\right) = (1, 2)$

となります。

次に、円の半径を求めます。半径は、中心(1, 2)と直径の端点(-3, -4)の距離に等しいので、

$r = \sqrt{(-3-1)^2 + (-4-2)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-6)^2} = \sqrt{16+36} = \sqrt{52}$

となります。

円の方程式は、中心(1, 2), 半径$\sqrt{52}$を用いて、

$(x-1)^2 + (y-2)^2 = (\sqrt{52})^2$

$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 52$

となります。

3. 最終的な答え

(1) $(x-3)^2 + (y+2)^2 = 16$

(2) $x^2 + (y-3)^2 = 10$

(3) $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 52$